本週的播放清單如下
週一：向量函數的積分
週二：曲面分析與面積分
週三：旋轉體分析
週四：三變數函數的積分
週五：向量函數的極限、連續與微分
以下是可以許願的清單
記得只能許願某個重點，不能直接許一整章
若是有人許過你想許的主題
可到 YT 許願
youtube.com/post/UgxOAnbloHj78w6vjI14AaABCQ
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【積分(前篇)】
重點一 定積分直觀觀念
重點二 奇偶函數的積分
重點三 定積分正式定義
重點四 積分運算性質
重點五 微積分基本定理 I - 先微再積型
重點六 不定積分與反導數
重點七 雙曲函數
重點八 微分表II
重點九 四大積分基本方法之一：變數變換法
重點十 四大積分基本方法之二：三角置換法
重點十一 四大積分基本方法之三：分部積分法
重點十二 積分表
重點十三 四大積分基本方法之四：部分分式法
【積分(後篇)】
重點一 進階積分技巧：高次倍角三角函數積分
重點二 特殊積分形式之其一：含絕對值的積分
重點三 特殊積分形式之其二：含無窮的積分 (瑕積分)
重點四 微積分基本定理 II - 先積再微型
重點五 旋轉體積分
【數列與級數】
重點一 數列與數列的極限
重點二 數列極限的運算性質
重點三 數列連續化求極限法
重點四 夾擠定理
重點五 單調數列與有界數列
重點六 級數
重點七 級數的運算性質
重點八 級數審斂法一：等比級數
重點九 級數審斂法二：p-級數
重點十 級數審斂法三：比較審斂法
重點十一 級數審斂法四：極限比較審斂法
重點十二 級數審斂法五：比值審斂法
重點十三 級數審斂法六：根值審斂法
重點十四 級數審斂法七：積分審斂法
重點十五 級數審斂法八：交錯級數審斂法
重點十六 絕對收斂和條件收斂
重點十七 冪級數
重點十八 冪級數的運算
重點十九 泰勒級數與泰勒定理
【多變數函數的微積分】
重點一 多變數函數
重點二 二變數函數的極限
重點三 二變數函數極限特殊求法
重點四 二變數函數極限運算定理
重點五 二變數函數的連續
重點六 二變數函數的偏微分
重點七 高階偏微分
重點八 偏微分運算律
重點九 多變數函數的微分量 (全微分)
重點十 方向導數
重點十一 梯度與等高線
重點十二 等值面與切平面
重點十三 相對極值、絕對極值和鞍點
重點十四 拉格朗日乘數法
重點十五 二變數函數的積分：二重積分
重點十六 二重積分的極座標轉換
重點十七 二重積分的應用
重點十八 三變數函數的積分：三重積分
重點十九 柱座標與球座標
重點二十 三重積分的應用
【向量微積分】
重點一 向量函數的定義
重點二 向量函數的極限、連續與微分
重點三 向量函數的積分
重點四 曲線分析
重點五 旋轉體分析
重點六 向量場與保守場
重點七 線積分
重點八 微積分基本定理 for 線積分
重點九 格林定理
重點十 梯度、旋度、散度
重點十一 曲面
重點十二 曲面分析與面積分
重點十三 散度定理
重點十四 史托克定理
以上就是能許願的清單
統計到本周六晚上 10 點
結果會在本周日晚上公告
然後下周一至五晚上 6 點在我頻道限時首播
分部積分 在 Re: [微積]要怎麼算分部積分?? - 看板Math 的推薦與評價
※ 引述《purestone (天空之子)》之銘言：
: 在這裡問一個很外行的問題,在作分部積分時,要怎麼知道對誰作積分??
: 憑經驗??瞎猜??
推文也說了很多了，其實真的就是經驗跟一點點的瞎猜。
不過其實還是有一些方向可循的。
首先，觀察一下分部積分的公式：∫udv = uv - ∫vdu 。
會發現被我們當作 u 的部份，到了等式的右邊，會被拿去微分；
被我們當作 v 的部份，到了等式的右邊，會被拿去積分。
所以我們需要思考的是：到底應該把誰拿去微分、把誰拿去積分？
我們做分部積分，就是因為老老實實地把函數拿去積分沒辦法積出來，
我們才會想要透過分部積分將積分式寫得簡單、好看一點。
也就是說，我們選的 u 、 dv 必須能使我們的積分式看起來更好看才可以。
所以，你在選 u 的時候，必須是選那種就算拿去微分也不會變得更複雜的 u ；
在選 dv 的時候，必須是選那種就算拿去積分也不會變得更複雜的 dv 。
舉例。
<ex> Evaluate (a)∫x^2 cosx dx ;
(b)∫x^2 e^x dx ;
(c)∫x^2 lnx dx .
<sol>
(a) 在這題中，你可以把"x^2 cosx dx"看成四種排列組合：
[1]．[x^2 cosx dx] [x^2]．[cosx dx] [cosx]．[x^2 dx] [x^2 cosx]．[dx]
u dv u dv u dv u dv
你覺得積誰才不會讓原式變得更複雜？微誰才不會變得更複雜？
注意：我們的原則是積了、微了之後，積分式不會變得更複雜才行。
積出來的東西不一定會變得比較簡潔，但無論如何都不能變得更複雜。
如果是我，我會覺得把 x^2 拿去微了，會變得比較簡潔，當作 u ；
把 cosx dx 拿去積了，不會變得比較複雜，當作 dv 。
（反正把三角函數拿去積分還是三角函數）
所以我會選 u = x^2, dv = cosx dx => du = 2x dx, v = sinx.
則 原式 = x^2 sinx - 2∫x sinx dx 。
看！原本積分式 x 的次數是 2 次的，現在只剩 1 次了。
同樣的動作再做一遍就行了。
(b) 在這題中，同樣把"x^2 e^x dx"看成四種排列組合：
[1]．[x^2 e^x dx] [x^2]．[e^x dx] [e^x]．[x^2 dx] [x^2 e^x]．[dx]
u dv u dv u dv u dv
同樣的問題再問一次自己：積誰才不會變複雜？微誰才不會變複雜？
如果是我，我會覺得把 x^2 拿去微了，會變得比較簡潔，當作 u ；
把 e^x dx 拿去積了，不會變得比較複雜，當作 dv 。
（反正指數函數拿去積分還是指數函數）
所以我會選 u = x^2, dv = e^x dx => du = 2x dx, v = e^x.
則 原式 = x^2 e^x - 2∫x e^x dx 。
同學們，原本積分式中 x 的次數是 2 次的，現在只剩 1 次了。
同樣的動作再做一遍就行了。
也許你會說，以後做分部積分遇到polynomial，就把它拿去微分就好啦。
可惜的是，人生不如意事，十之八九。
並不是所有的時候我們都必須把polynomial拿去微分的。
我們看下一個例子。
(c) 在這題中，同樣把"x^2 lnx dx"看成四種排列組合：
[1]．[x^2 lnx dx] [x^2]．[lnx dx] [lnx]．[x^2 dx] [x^2 lnx]．[dx]
u dv u dv u dv u dv
同樣的問題再問一次自己：積誰才不會變複雜？微誰才不會變複雜？
今天，我就是不會積x^2 lnx，才會想來用分部積分，
但最左邊的紅色 dv 竟然還叫我把他拿去積一積，我連開始都不想開始。淘汰。
此外，把最右邊那個選項的黃色 u 拿去微分，發現 u 會立刻變得很醜，
所以也淘汰掉算了。剩下中間兩個可能的選項。
兩相比較之後，如果你要我積 lnx ，我會很不願意。
雖然 lnx 是積得出來的，但是積出來的東西跟 x^2 積出來的東西一比，
x^2 積出來的東西顯然好看多了。
因此這種情況，我反而寧願把 lnx 拿來微，當作 u ；
把 x^2 dx 拿來積，當作 dv 。
因此我設 u = lnx, dv = x^2 dx => du = 1/x dx, v = 1/3 x^3
則 原式 = 1/3 x^3 lnx - 1/3 ∫x^3 /x dx
= 1/3 x^3 lnx - 1/3 ∫x^2 dx （polynomial被1/x除掉了！）
= 1/3 x^3 lnx - 1/9 x^3 + C 。
同學們，我們要感謝 lnx 的美好性質。
因為polynomial正好可以被 1/x 降次，
所以就算我們把polynomial拿去積，也不會讓原積分式變得更複雜。
因此你得到一些經驗法則：
1. 當polynomial與三角函數或指數函數乘在一起時，
把polynomial當 u ，把三角函數dx、指數函數dx當成 dv 。
2. 當polynomial與對數函數乘在一起時，
把polynomial dx 當成 dv ，把對數函數當作 u 。
剩下的，就要請你自己從習題中摸索囉。
謹記：做分部積分時，要將積分式中的函數視為兩個函數相乘（小心該函數可能是1）。
觀察兩個函數，看誰被微、誰被積之後，不會讓積分式變得更複雜。
令被微的那個函數為 u ，令被積的那個函數f(x)dx 為 dv 即可。
話雖如此，你要能判斷誰被微、被積之後不會讓積分式變得更複雜，
我們還是要對各種函數有一定程度的熟悉才行。因此多做習題還是必要的。
此外，有推文說得有道理：要怎麼取 u、v 其實都可以，只是好不好算的問題。
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政宗さま！足、舐めたい！
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