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橢圓曲線加法 在 軟體開發學習資訊分享 Facebook 的最讚貼文
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橢圓曲線加法 在 狂人日誌：MadVnz Facebook 的最佳貼文
[狂人新聞台] 開啟全新探索旅程 Ferrari Portofino M 正式登臺
＃小編：Portofino M車輛命名中的字母「M」，源自義大利文「Modificata」，用以代表經過強化升級後的紅鬃烈馬
作為Portofino的升級車型，Portofino M具備豐富的創新科技，其中最為突出的是經過重新調教並強化的動力系統、全新8速變速箱以及提供五種模式的manettino旋鈕。這也是躍馬品牌首次將此先進技術應用於旗下的敞篷GT跑車車型中。透過許多前瞻科技的應用，完美融合Portofino M純正的GT跑車性能、純粹的駕馭樂趣、出色的靈敏反應與日常駕駛的實用性。
Portofino M搭載已連續四年斬獲「國際年度引擎大獎」殊榮的V8渦輪增壓引擎，而經由強化升級後，全新引擎在7500轉/分時可產生高達620cv的輸出功率，相較前代車型多出20cv之譜。為了實現卓越的性能表現，Ferrari法拉利工程師採用全新凸輪輪廓設計，在增加閥門升程的同時，提升燃燒室內燃料和空氣的填充速度。
承襲Ferrari法拉利的每款引擎均具備與眾不同、獨具特色的迷人聲浪，Portofino M在平面曲軸及整套排氣管的幾何結構上皆進行重新設計。此外，Portofino M也拔除兩個後消音器，旁通閥採用全新橢圓設計，以控制排氣的雜訊。這兩項設計升級大幅降低排氣背壓，並改善聲浪品質。值得一提的是，根據駕駛情況，車輛亦可針對旁通閥採連續且漸進的控制。
Portofino M搭載全新8速變速箱，相較前代車型所採用的7速變速箱，此變速箱採用濕式雙離合結構，同時提供機械倒車檔。透過重新設計與零件升級，變速箱的尺寸及安裝方式均有顯著提升，
如同其他搭載渦輪增壓引擎的紅鬃烈馬，Portofino M 完美詮釋了零渦輪遲滯的理念，在全轉速範圍內提供零遲滯的動力反應，也搭載由Ferrari法拉利自主研發的可變增壓管理系統，其可根據所選的檔位相應調整扭力輸出。因此，隨著轉速提升即可帶來更加強勁的動力表現，同時大幅提升油耗效率。隨著檔位增加（從3檔升至8檔），引擎扭力可在7檔和8檔中攀升至760牛頓·米。
不僅在高檔位時能擁有更大的轉速比，並有效降低油耗與排放；同時，當切換至低檔位時，可透過陡峭的的扭力曲線設定，帶來順暢而強悍的極致加速感受。
透過新增的8檔及傳動效率的提升，Portofino M在城市道路與高速行駛狀態下的油耗表現顯著提升，同時在運動及極限駕駛條件亦帶來更優異的性能體驗。
除此之外，全新離合器模組的體積縮小20％，而扭力輸出則提升高達35％，並可在換檔過程中傳遞高達1,200牛頓·米的動態扭力。透過功能強化的電子控制單元，變速箱的軟體表現也得到進一步提升。
作為首次導入躍馬GT 敞篷跑車車型的五種manettino模式旋钮，「Race」模式的加入，賦予Portofino M輕鬆自在的操控體驗與易於掌控的抓地表現。在FDE法拉利動態強化系統的加持下，Race模式可帶來極致的駕駛樂趣。
相較前代車型，Portofino M擁有更加鮮明的運動特質，同時帶來非凡的操駕體驗。藉由ADAS法拉利進階駕駛輔助系統以及通風/加熱座椅等配備，將全新跑車的駕乘舒適度提升至全新境界。Portofino M完美延續躍馬敞篷GT跑車的特點：在敞篷關閉時，是一台毫不妥協的硬頂跑車；在敞篷開啟時，則展現自由奔放的純粹駕馭享受。而正是透過RHT可折疊式硬頂敞篷的經典設計，全新Portofino M得以完美融合兩種車型的靈魂，並再次樹立同級距難以超越的全新標竿。
＃Ferrari ＃Portofino ＃M ＃Modificata
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我是JC老師
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矩形陣列ARRAYRECT
● 將物件複本分配到任何列、欄和圖層的組合。
● 選取物件
● 關聯式(AS)：指定陣列物件為關聯式或獨立
◆ 是(Y)：將陣列項目納入單一陣列物件中，類似於圖塊。透過關聯式陣列，您可以編輯性質和來源物件以快速將變更擴展至整個陣列。
◆ 否(N)：以獨立物件的形式建立陣列項目。對某個項目的變更並不會影響其他項目。
● 基準點(B)：定義陣列基準點和基準點掣點的位置
● 關鍵點(K)：對於關聯式陣列，請在來源物件上指定一個有效的約束點 (或關鍵點)，將其與路徑對齊。如果您編輯結果陣列的來源物件或路徑，陣列的基準點會保持和來源物件的關鍵點重合。
● 行數(COL)
◆ 輸入行數
◆ 輸入行距[總計(T) /表示式(E)]
● 列數(R)
◆ 輸入列數
◆ 輸入列距[總計(T) /表示式(E)]
◆ 指定列之增量高程
● 間距(S)
◆ 輸入行距
◆ 輸入列距
● 計數(COU)
◆ 輸入行數
◆ 輸入列數
● 圖層(L)：指定 3D 陣列的圖層數量和間距
◆ 圖層數：指定陣列中的圖層數
◆ 圖層之間的距離：指定每個物件的相等位置之間 Z 座標值的差值
◆ 總長：在第一個和最後一個圖層中，指定物件的相等位置之間 Z 座標值的總差值
◆ 表示式：根據數學公式或方程式導出值
環形陣列ARRAYPOLAR
● 繞著中心點或旋轉軸以圓形樣式均勻分配物件複本。
● 選取物件：選取要在陣列中使用的物件。
● 中心點：指定一個點，以將陣列項目分配於該點周圍。旋轉軸為目前 UCS 的 Z 軸。
◆ 基準點(B)：指定陣列的基準點。
◆ 旋轉軸(A)：指定由兩個指定點所定義的自訂旋轉軸。
● 關聯式(AS)：指定陣列物件為關聯式或獨立。
◆ 是(Y)：將陣列項目納入單一陣列物件中，類似於圖塊。透過關聯式陣列，您可以編輯性質和來源物件以快速將變更擴展至整個陣列。
◆ 否(N)：以獨立物件的形式建立陣列項目。對某個項目的變更並不會影響其他項目。
● 項目(I)：使用值或表示式指定陣列中的項目數目。
● 夾角：使用值或表示式指定項目之間的角度。
● 填滿角度：使用值或表示式指定陣列中第一個和最後一個項目之間的角度。
● 旋轉項目(ROT)：控制是否旋轉陣列的項目。
● 列數(ROW)：設定列數。
◆ 列間距：從每個物件上的對等位置測量，指定各列之間的距離。
◆ 總長(T)：從起點與終點物件上的對等位置測量，指定起點和終點列之間的總距離。
◆ 增量高程：設定後續每一列的增加或減少高程。
◆ 表示式：根據數學公式或方程式導出值。
● 圖層(L)：指定圖層的數量和間距 (用於 3D 陣列)。
◆ 圖層數：指定陣列中的圖層數。
◆ 圖層之間的距離：指定圖層之間的距離。
◆ 表示式：使用數學公式或方程式衍生出值。
◆ 總長：指定第一個圖層和最後一個圖層之間的總距離。
路徑陣列ARRAYPATH
● 沿著路徑或部分路徑分配物件複本
● 路徑可以是直線、聚合線、3D 聚合線、雲形線、螺旋線、弧、圓或橢圓。
● 選取物件
● 選取路徑曲線
● 關聯式(AS)：指定陣列物件為關聯式或獨立。
◆ 是(Y)：將陣列項目納入單一陣列物件中，類似於圖塊。透過關聯式陣列，您可以編輯性質和來源物件以快速將變更擴展至整個陣列。
◆ 否(N)：以獨立物件的形式建立陣列項目。對某個項目的變更並不會影響其他項目。
● 方式(M)：沿著路徑分配項目的控制方法
◆ 等分(D)：沿著路徑長度均勻分配指定數目的項目
◆ 等距(M)：沿著路徑依指定間隔分配項目
● 基準點(B)：指定一個基準點，以相對於路徑曲線起點來放置陣列中的項目。
● 關鍵點：對於關聯式陣列，請在來源物件上指定一個有效的約束點 (或關鍵點)，將其與路徑對齊。如果您編輯結果陣列的來源物件或路徑，陣列的基準點會保持和來源物件的關鍵點重合。
● 切線方向(T)：指定兩個點，表示陣列項目相對於路徑的切向。這兩點的向量可建立陣列中第一個項目的切向。「對齊項目」設定控制陣列中的其他項目是否保持相切或平行方位。
● 項目(I)：根據「方法」設定指定項目數目或項目之間的距離。
◆ 列數(ROW)：設定列數。
◆ 列間距：從每個物件上的對等位置測量，指定各列之間的距離。
◆ 總長(T)：從起點與終點物件上的對等位置測量，指定起點和終點列之間的總距離。
◆ 增量高程：設定後續每一列的增加或減少高程。
◆ 表示式：根據數學公式或方程式導出值。
● 圖層(L)：指定圖層的數量和間距 (用於 3D 陣列)。
◆ 圖層數：指定陣列中的圖層數。
◆ 圖層之間的距離：指定圖層之間的距離。
◆ 表示式：使用數學公式或方程式衍生出值。
◆ 總長：指定第一個圖層和最後一個圖層之間的總距離。
● Z 方向(Z)；控制是否保留項目原始的 Z 方向或是沿著 3D 路徑自然排列項目。
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矩形陣列ARRAYRECT
● 將物件複本分配到任何列、欄和圖層的組合。
● 選取物件
● 關聯式(AS)：指定陣列物件為關聯式或獨立
◆ 是(Y)：將陣列項目納入單一陣列物件中，類似於圖塊。透過關聯式陣列，您可以編輯性質和來源物件以快速將變更擴展至整個陣列。
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● 基準點(B)：定義陣列基準點和基準點掣點的位置
● 關鍵點(K)：對於關聯式陣列，請在來源物件上指定一個有效的約束點 (或關鍵點)，將其與路徑對齊。如果您編輯結果陣列的來源物件或路徑，陣列的基準點會保持和來源物件的關鍵點重合。
● 行數(COL)
◆ 輸入行數
◆ 輸入行距[總計(T) /表示式(E)]
● 列數(R)
◆ 輸入列數
◆ 輸入列距[總計(T) /表示式(E)]
◆ 指定列之增量高程
● 間距(S)
◆ 輸入行距
◆ 輸入列距
● 計數(COU)
◆ 輸入行數
◆ 輸入列數
● 圖層(L)：指定 3D 陣列的圖層數量和間距
◆ 圖層數：指定陣列中的圖層數
◆ 圖層之間的距離：指定每個物件的相等位置之間 Z 座標值的差值
◆ 總長：在第一個和最後一個圖層中，指定物件的相等位置之間 Z 座標值的總差值
◆ 表示式：根據數學公式或方程式導出值
環形陣列ARRAYPOLAR
● 繞著中心點或旋轉軸以圓形樣式均勻分配物件複本。
● 選取物件：選取要在陣列中使用的物件。
● 中心點：指定一個點，以將陣列項目分配於該點周圍。旋轉軸為目前 UCS 的 Z 軸。
◆ 基準點(B)：指定陣列的基準點。
◆ 旋轉軸(A)：指定由兩個指定點所定義的自訂旋轉軸。
● 關聯式(AS)：指定陣列物件為關聯式或獨立。
◆ 是(Y)：將陣列項目納入單一陣列物件中，類似於圖塊。透過關聯式陣列，您可以編輯性質和來源物件以快速將變更擴展至整個陣列。
◆ 否(N)：以獨立物件的形式建立陣列項目。對某個項目的變更並不會影響其他項目。
● 項目(I)：使用值或表示式指定陣列中的項目數目。
● 夾角：使用值或表示式指定項目之間的角度。
● 填滿角度：使用值或表示式指定陣列中第一個和最後一個項目之間的角度。
● 旋轉項目(ROT)：控制是否旋轉陣列的項目。
● 列數(ROW)：設定列數。
◆ 列間距：從每個物件上的對等位置測量，指定各列之間的距離。
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◆ 圖層數：指定陣列中的圖層數。
◆ 圖層之間的距離：指定圖層之間的距離。
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路徑陣列ARRAYPATH
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◆ 等距(M)：沿著路徑依指定間隔分配項目
● 基準點(B)：指定一個基準點，以相對於路徑曲線起點來放置陣列中的項目。
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● 項目(I)：根據「方法」設定指定項目數目或項目之間的距離。
◆ 列數(ROW)：設定列數。
◆ 列間距：從每個物件上的對等位置測量，指定各列之間的距離。
◆ 總長(T)：從起點與終點物件上的對等位置測量，指定起點和終點列之間的總距離。
◆ 增量高程：設定後續每一列的增加或減少高程。
◆ 表示式：根據數學公式或方程式導出值。
● 圖層(L)：指定圖層的數量和間距 (用於 3D 陣列)。
◆ 圖層數：指定陣列中的圖層數。
◆ 圖層之間的距離：指定圖層之間的距離。
◆ 表示式：使用數學公式或方程式衍生出值。
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◆ 圖層數：指定陣列中的圖層數
◆ 圖層之間的距離：指定每個物件的相等位置之間 Z 座標值的差值
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● 項目(I)：使用值或表示式指定陣列中的項目數目。
● 夾角：使用值或表示式指定項目之間的角度。
● 填滿角度：使用值或表示式指定陣列中第一個和最後一個項目之間的角度。
● 旋轉項目(ROT)：控制是否旋轉陣列的項目。
● 列數(ROW)：設定列數。
◆ 列間距：從每個物件上的對等位置測量，指定各列之間的距離。
◆ 總長(T)：從起點與終點物件上的對等位置測量，指定起點和終點列之間的總距離。
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◆ 表示式：根據數學公式或方程式導出值。
● 圖層(L)：指定圖層的數量和間距 (用於 3D 陣列)。
◆ 圖層數：指定陣列中的圖層數。
◆ 圖層之間的距離：指定圖層之間的距離。
◆ 表示式：使用數學公式或方程式衍生出值。
◆ 總長：指定第一個圖層和最後一個圖層之間的總距離。
路徑陣列ARRAYPATH
● 沿著路徑或部分路徑分配物件複本
● 路徑可以是直線、聚合線、3D 聚合線、雲形線、螺旋線、弧、圓或橢圓。
● 選取物件
● 選取路徑曲線
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● 基準點(B)：指定一個基準點，以相對於路徑曲線起點來放置陣列中的項目。
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◆ 列間距：從每個物件上的對等位置測量，指定各列之間的距離。
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◆ 圖層數：指定陣列中的圖層數。
◆ 圖層之間的距離：指定圖層之間的距離。
◆ 表示式：使用數學公式或方程式衍生出值。
◆ 總長：指定第一個圖層和最後一個圖層之間的總距離。
● Z 方向(Z)；控制是否保留項目原始的 Z 方向或是沿著 3D 路徑自然排列項目。
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※ 引述《okpk3k (登登)》之銘言：
: 最近在認識比特幣時，了解到比特幣的公鑰,私鑰是利用數學的橢圓曲線來做加密。
: 過程會對特定的橢圓曲線取mod 來得到整數的座標點，變成離散數學。
: 想問的問題是"取mod 後的座標有辦法對映到原本連續的橢圓曲線上的點嗎？"
: 例如比特幣使用的曲線
: y^2=x^3+7 在取mod 31時只會有20個座標點，加上"無窮遠"，階數就是21
: 而連續的橢圓曲線在選擇特定的點使得階數也是21時，也是有固定的20個座標點+"無窮遠
: "(沒有其他可能的點使得階數也是21)
: 所以我覺得離散後的20個點應該可以對映到連續曲線上的20個點。
: 例如在我這例子裡，離散後的(0,10)、(0,21)可以對映到連續曲線上的(0,2.6458),(0,-2
: .6458), 會容易得到這結論是因為N=21不是質數，所以在這些點，階數會變3，扣除"無窮
: 遠"後，就剩下這兩個點，所以我覺得這兩對是對映的關係,但不知道一對一是哪兩個點。
: 不知道有沒有相關分析來尋找離散跟連續間的對映關係？
: google了很多相關網頁，沒找到任何相關分析，有看到"橢圓曲線的數學是屬於研究所的
: 課程"才來這邊發問，不知道有修習過的高手能分享嗎？或是有相關文獻可以推薦？
: 還是說本來就不可能找到所有點在連續曲線上的對映關係？畢竟ECDSA是很多資安系統採
: 用的加密方式。
我在這邊整理一下推文的資訊
以供其他版友參考
1. 橢圓曲線的定義為y^2=x^3+ax+b
其中a和b是常數
2. 我們一般講的橢圓曲線
其實可以寫成"{(x,y) in R*R| y^2=x^3+ax+b, a,b is constant in R}"
也就是方程式"y^2=x^3+ax+b"定義在xy平面上面的解
所以定義橢圓曲線是需要一個空間的
而一般我們規定的空間是R
或者稱之為實數的空間
3. 如果你想要讓橢圓曲線定義的好
也就是元素們可以做加法減法
或者更準確的說是橢圓曲線的集合要是一個"群(group)"
那麼我們會定義(a,b)+(p,q)的值為
"兩點連成直線 恰交橢圓曲線於一點 此點對x軸做對稱 所得的點就是所求值"
4. 在這個定義之下
有學習過數學系抽象代數的同學(通常是大二必修課)
可以證明必須要把橢圓曲線定義在"體(field)"的空間內才可以達成要求
否則有一些元素相加後可能就不在曲線上
或者是出現一些奇怪的狀況等等
5. "體(field)"就是一個具有兩種運算方式的群
比方說有理數就有加法和乘法
比方說實數就有加法和乘法
比方說實數矩陣就有矩陣加法和矩陣乘法
6. 如果是有限大小的體
則大小(表示為t)必定是某個質數的次方
而且這個體正好就是x^t-x=0的根
所以每個一樣大的有限體都有相同的結構(isomorphic)
7. 如果是無限大小的體
例如有理數/實數/實數的2*2矩陣/...
那就沒有上述那麼好康的性質了
大概要學習過"伽羅瓦定理(galois theory)"以後會比較了解無限體的關係
8. 定義在有限體上面的橢圓曲線
可以證明是一個群
而且他們具備加法的運算
至於集合大小就不一定是某個質數的次方囉!
9. 數學系的橢圓曲線課程是非常恐怖的課程
主要就是在討論一些用積分定義出來的符號以及數論的內容
這也會在數學系的複分析課學到(通常是大三必修)
然而卻沒有提到半點有限體相關的知識
大概就是這樣
由於我已經兩年沒碰代數
所以如果有意見請提出討論
謝謝
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質數體:就是一個體 他的元素只有{1,1+1,1+1+1,1+1+1+1,...}
可以證明質數體的元素個數只能是質數或是無限大
所以質數體只會是F[q](即Z mod q, q質數)或者是Q(有理數)
而且每一個體裡面都藏著一個質數體
因為每個體都有單位元1 也自然有1+1, 1+1+1, ...(加法封閉性)
因為密碼學的離散橢圓曲線其實是定義在F[p](即Z mod p)之上
所以現在問題可以轉化成"F[p]對應到無限大體"的這個問題
然後橢圓曲線只是定義在這些體之上的方程式"y^2=x^3+ax+b"的解
如果要把F[p]送到內藏Q的無限大體
那絕對是不可能的
比方說當p=5
那麼我們選擇計算7個1相加
在F[p]內的值為2
在內藏Q的無限體的值為7(而且不等於2)
因此產生矛盾
如果要把F[p]送到內藏F[q]的無限大體
(a)p=q 那就把F[p]送到F[q]就好
(b)p!=q 那就不可能送進去 因為會產生1+1+...+1的矛盾
那麼如果給定一個F[p]的體
可不可以製造出一些內藏F[p]的無限體呢?
比方說: F[p](x)={ a[0]+a[1]x+a[2]x^2+...+a[n]x^n | a[i] in F[p] for all i}
還有其他更多的例子
但這些要牽涉到"體擴張(field extension)"以及更複雜的結構
我也已經忘的差不多
所以就講到這邊
大概就這樣
※ 編輯: thr3ee (140.112.217.172), 08/17/2018 11:40:10
※ 編輯: thr3ee (140.112.217.172), 08/17/2018 11:40:59
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