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※ 引述《destiny0609 (.......................)》之銘言：
: 請問一下 像下面這樣一堆sin con連在一起的要怎麼積?
: π/2 8 10
: ∫ cos θ sin θ dθ
: 0
: 說明一下: cos的8次方 乘以 sin的10次方 然後範圍是0到π/2
: 類似的題目:
: π/2 11 10
: ∫ cos θ sin θ dθ
: 0
: 有人可以稍微給我解釋一下嗎?
: 看解答上面寫得好像跟次方的奇偶數個有關
: 但我不知道來源.......
m n
解答應該是考慮 ∫ cos (θ) *sin (θ) dθ (我用不定積分表示)
視 m、n 的奇偶性來決定用何種變數變換 ( if m、n 屬於 N )
<1> if m、n 至少有一個為奇數:
看到這種題目原po應該要感到開心
因為你可以利用代換變數法，把問題轉成多項式函數的積分問題
以你舉的第二個例子而言:
π/2 11 10
∫ cos (θ) *sin (θ) dθ
0
1 5 10
= ∫ (1-x^2) x dx by setting x = sin (θ)
0
1 2 4 6 8 10 10
= ∫ (1 - 5x + 10x - 10x + 5x - x )x dx
0
1 5 10 10 5 1
= ── - ── + ── - ── + ── - ──
11 13 15 17 19 21
5 5 (-1)^n
= Σ C ────
n=0 n (11+2n)
積分後的結果通常可以用 sigma-index 來表示
後續看你是要硬破、還是用排列組合的技巧整理出一個 closed form 都行
不過這部分並非是 calculus 的範疇 , 我就不打了
<2> if m、n 皆為偶數:
遇到這種題目只能說是人品問題....
因為不論假設 x=sinθ 還是 x=cosθ
被積函數都會出現根號這種令人討厭的東西
不過你還是可以藉由三角函數的倍角公式把指數項不斷的降階
要有點耐心就是了
以你舉的第二個例子而言:
π/2 8 10
∫ cos (θ) *sin (θ) dθ
0
π/2 sin(2θ) 8 1 - cos(2θ)
= ∫ [ ──── ] * [ ────── ] dθ
0 2 2
1 π/2 8 π/2 8
= ──{ ∫ sin (2θ) dθ - ∫ sin (2θ)*cos(2θ) dθ }
2^9 0 0
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
(這個定積分等於0,很好算，計算過程就省略)
1 π 8
= ──*∫ sin (θ) dθ
2^10 0
= I
這裡提供一個小技巧來算 I
d n-1 n-2 2 n
注意到 ──[sin θ*cosθ] = (n-1)*sin θ*cos θ - sin θ
dθ
n-2 n
= (n-1)*sin θ - n*sin θ
利用上面的遞迴式可知:
1 π 1 8 6 7 6
I = ──*∫ ──[8sin θ - 7sin θ] + ──sin θ dθ
2^10 0 8 8
1 -1 7 θ=π 7 π 6
= ──*{ ──*sin θ*cosθ│ + ──∫ sin θ dθ}
2^10 8 θ=0 8 0
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
= ... (若一值降階下去會發現出現跟標註的項類似，並且都等於0
所以降階到最後結果如下:)
1 7*5*3*1 π
= ──*──── ∫ 1 dθ
2^10 8*6*4*2 0
π 7*5*3*1
= ──*────
2^10 8*6*4*2
: 另外還有一題: 有關於體積的 也是不太懂
: Find the volume common to two sphere, each with radius γ, if the center of
: each sphere lies on the surface of the other sphere.
: 我覺得應該是用球座標去做
: 但是寫不出來.....因為他交集的球體出來似乎是個橢圓體?
: 不知道應該要怎麼做比較好呢~?
初微課本有教兩種求體積的方法 for some case
其中一個翻做白話好像叫圓盤法 (＝＝？)
分別把兩 center of the sphere 的座標設為 (-γ/2, 0, 0) 、(γ/2, 0, 0)
投影在 x-y 坐標平面上，其一邊的 contour eq. 為:
(x + γ/2)^2 + y^2 = γ^2 for 0≦x≦γ/2
γ/2
所以欲求體積 = 2π∫ y^2 dx
0
γ/2
= 2π∫ γ^2 - (x + γ/2)^2 dx
0
γ
= 2π∫ γ^2 - x^2 dx
γ/2
2 1 3 x = γ
= 2π*[ γ x - ──x ] │
3 x = γ/2
5 3
= ──πγ
12
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