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高中 指數律 題目 在 Re: [求助] 高中指數- 看板tutor - 批踢踢實業坊 的推薦與評價
※ 引述《PROQC (跑步去)》之銘言：
: 1.年級：高一
: 2.科目：數學
: 3.章節：指數率
: 4.題目： 是非題 [ (-2)^1/2次方 ] 12次方 > 0
: 答案是(錯)
爭點應該是 (-2)^(1/2) 有沒有超出範圍
而不是有沒有定義
因為只要 z≠0， z^w 都可以定義，其中 z,w 是複數
Def: If z≠0， we define z^w = e^(w Log z)
其中 Log z = log|z| + i arg(z)， -π< arg(z)≦π
例如: i^i = e^(i (log1 + iπ/2)) = e^(-π/2)
(-2)^(1/2) = e^{(1/2)(log 2 + iπ)} = Sqrt[2] i
(-1)^(1/3) = e^{(1/3)(log 1 + iπ)} = e^(iπ/3) = 1/2 + i Sqrt[3]/2
如果今天有個國中生學過複數，而且會解 x^2 + 1 = 0
當他跟你說 x = ± i時，你應該不會跟他說錯吧
同樣道理，[ (-2)^(1/2) ]^12 > 0，沒有錯的理由
你可以說它超出高中範圍，但不能說它錯
但是否真的超出範圍仍然可以爭議
因為即使不用上述的定義 (-2)^(1/2) = e^{(1/2)(log 2 + iπ)} = Sqrt[2] i
以高中能理解的方式來看待 (-2)^(1/2) 也是可以的
(如果是問 i^i > 0 ，那超出範圍就沒有爭議)
把 (-2)^(1/2) 視為 x^2 + 2 = 0 的二根
是高中就能理解，也合情合理的事
事實上在推廣指數到有理數時就有這樣的經驗了
只不過 a<0 時沒辦法再規定 a^(1/n) 是代表 x^n = a 的唯一正根
若把 (-2)^(1/2) 視為 x^2 + 2 = 0 的二根
(-2)^(1/2) = ± Sqrt[2] i
(-2)^(1/2) 即使多值，但 [ (-2)^(1/2) ]^12 > 0 仍然成立
另外一個爭點
如果複數運算後的結果是一個實數，那當然可以比較大小
事實上這種例子高中就有了
- -
z z ≧ 0 就是一例，其中 z 是複數， z 是它的共軛複數
內積 < x,x > ＞ 0 , if x≠0 也是一例
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 218.164.180.82
例如: (xy)^w = x^w y^w e^(2πiw n(x,y))
其中 n(x,y) = 0 , if -π < arg(x) + arg(y)≦ π
1 , if -2π < arg(x) + arg(y)≦ -π
-1 , if π < arg(x) + arg(y)≦ 2π
以維基那個錯誤證明 1+1 = 0 為例
https://ppt.cc/99pj
正確應該是
(-1*-1)^(1/2) = (-1)^(1/2)*(-1)^(1/2)*e^(2πi*(1/2)*(-1))
= i*i*e^(-πi) = 1
但是像指數律 z^x * z^y = z^(x+y) 就仍然成立
z≠0，x,y,x 是複數
其實原 po 問的這題，不必用到指數律
但我覺得這種題目還是盡量避免出現在高中
若不得已已經出來，最節省時間的方法
就是告訴學生超出範圍，不計分或送分
但剛好這題就真的大於 0
所以不能說它錯
※ 編輯: ERT312 來自: 218.164.180.82 (11/08 02:39)
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