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e^jwt 在 Re: [問題] 週期信號以exp或三角表示？ - 看板Electronics 的推薦與評價
不知道你是不是修電路的課而交到這個
不過我只能說這個深入研究很複雜
沒有人教的話會跌個滿頭包 (就像我 T_T)
如果你目前還只是電路學的話
建議先知道怎麼用就好了
這其實是個很抽象的東西
我看了很久很久很久才有一些些感覺
很多書都只是概略講過
因為其中包含工數的東西
他們會當作你已經讀過而且融會貫通所以有些東西都帶過
我以我目前所了解的東西盡量簡單講給你聽 @@
不過還是希望你有基本的向量跟複數平面的概念
如果都懂就ok
至少電路學中的Sinusoids and Phasors(不知每本書一不一樣)
的一開始部分要看的懂才能夠懂我再講什麼
首先是 e^jwt = cos(wt) + jsin(wt)
我只知道以數學來推導是利用泰勒展開式
也就是利用 Power series來導證出來的
至於物理意義
說真的我也說不出個所以然來
只能把我知道的盡量講就是了 QQ
至於為什麼 |e^jwt| = 1
我們假設
e^jwt = cos(wt) + jsin(wt)
= e^jθ = cosθ + jsinθ
= Z = X + jY
所以 X = cosθ , Y = jsinθ ,θ = wt
我先舉個例
_ _
如果我們現在有個向量平面 i 軸跟 j 軸
_ _ _
我們以最基本的向量 A = (1,1) = 1 i + 1 j 來講
_
可以知道 0到A的距離為 |A| = √(1^2 + 1^2) = √2
因為複數平面是也一個向量平面
_
也就是說把實數軸當成一單位向量 i _
虛數軸當成另一單位向量 j
反正就是把他們當作向量來看就對了
所以 |Z| = |X + Yj| = √(X^2 + Y^2)
= |e^jθ| = |cosθ + jsinθ| =√[(cosθ)^2 + (sinθ)^2] = 1
其實你在複數平面上畫一個半徑為一的圓
不難看出虛數軸上之 Y 就等於 sinθ
實數軸上之 X 就等於 cosθ
另外特別提醒的是
當你在 e^jθ取實部時，就等於 Re[e^jθ] = cosθ
取虛部時，就等於 Im[e^jθ] = sinθ
另外一點就是 1 x j = j ， j x (1/j) = j x (-j) = 1
所以如果要
Re -> Im
則 Re[e^jθ] = Im[j x e^jθ] = Im[jcosθ - sinθ] = cosθ
Im -> Re
則 Im[e^jθ] = Re[(-j) x e^jθ] = Re[-jcosθ + sinθ] = sinθ
待會就會提到為什麼要知道這東西
假設現在有個 Va(t) = cos(wt)
他是屬於實數域 (real domain)
假設今天我們想要把他轉到複數域 (complex domain)
則 Va(t) = cos(wt) = Re[e^jwt]
現在又有個 Vb(t) = sin(wt)
則 Vb(t) = sin(wt) = Im[e^jwt] = Re[(-j) x e^jwt]
假設我們今天想要計算 Vc(t) = cos(wt) + sin(wt)的化簡
則可以利用複數域來化簡
Vc(t) = Re [e^jwt + (-j) x e^jwt]
= Re [(1-j) x e^jwt]
因為 (1-j) = |(1-j)| x ∠-(π/4)
= √2 x e^j(-π/4)
Im
用圖來表示的話 ︿
│
該點(1,-j)之 │ 1
──┼─┼──> Re
長度 = √2 │
-j┼ 。(1,-j)
角度 = -π/4 │
所以我們可以知道
Vc(t) = Re [√2 x e^j(wt-π/4)]
= √2 x cos(wt-π/4)
這就是為什麼 cos(wt) + sin(wt)
跟你想像中的 cos(wt) + jsin(wt)
有所不同的原因
因為在我們計算的時候把e^jwt當成是一種工具
他含有cos(wt) + jsin(wt) 這兩種成分
再舉一個例子
假設現在我們要算 (coswt)''' = ?
可是卻從來沒有學過cos的微分是什麼 (假設啦)
我們可以利用
(coswt)''' = Re[(e^jwt)'''] = Re[(-jw^3) x e^jwt]
= Re { (-jw^3) x [cos(wt) + jsin(wt)] }
= Re { -jw^3 x cos(wt) + w^3 x sin(wt)] }
= w^3 x sin(wt)
簡單來講當你微分第一次的時候，就等於乘上一個jw
乘上jw後你會發現
Re[(e^jwt)'] = Re { (jw x [cos(wt) + jsin(wt)] }
= Re [ jwcos(wt) -wsin(wt)]
也就是說乘上一個jw
cos會變成虛數隱藏起來
sin會變成實數顯現出來
如果是積分則是除以jw，也就是乘上(1/jw)
意思也是一樣
cos 跟 sin 他們互相有這種特別的關係
至於前人怎麼想到的我也不知道.......
不過利用這種關係
就可以將很多複雜的微分積分乘法除法算式
化簡成簡單的乘法除法加法減法
(也就是利用exp的性質，e^a x e^b = e^(a+b) )
不過記得以上只適合弦波，也就是Fourier的最原始概念 [F(jw)]
( 當然不懂物理意義直接用數學也是可以算出來的 )
至於如果含有衰減函數 e^σ，那就是Laplace的範圍了 [L(s)，s = e^(jw+σ)]
大概先知道就好
以後如過要修控制系統會講更多
信號與系統也是一樣
電子學頻率響應也會提到一些
另外e^jwt是一個可以當作所有弦波的一種"基底"
這個跟函數的內積以及正交有關係
詳細的基本定理在Sturm-Liouville應該有講
其實這部分我自己還沒看透徹
我只知道 F(jw) = <f(t),e^jwt>
簡單講F(jw) 就是 f(t) 在 e^jwt的投影量
看看就算了
因為我自己也沒把握是否可以講清楚 ><
好累 ~"~
剩下的部分我也都是似懂非懂
沒辦法講清楚了
以上請大家多多反駁 or 指正 or 其他Fourier的物理意義
因為我想要進步.... QQ
我的目標是寫出人人看的懂得Fourier and Laplace
因為我不是聰明人
但還是希望大家能夠看的起我 orz
※ 引述《ylnosciutn (ylnosciutn)》之銘言：
: 這是一個信號相關的問題
: 週期函數可以以三角函數表示
: 例如 V(t) = cos(wt)
: 這我很清楚
: 但是也有人以指數函數表示
: 例如 V(t) = exp(jwt)
: 利用尤拉公式可以寫成V(t) = cos(wt)+jsin(wt)
: 自然界的信號以複數的型式表示
: 究竟要怎麼解釋呢？
: 而且它還有一個特性 絕對值為一 |exp(jwt)| = 1
: 讓我實在搞不清楚它是怎樣的一個信號
: 老師是這樣解釋的
: 他說exp(jwt)就是"cos(wt)+sin(wt)"這個信號
: 只不過為了方便區分sin cos
: 所以在sin上加了一個j
: 以上解釋我不是很認同
: 例如
: exp(jwt)的絕對值平方永遠為1
: 所以該信號的功率始終是恆定的
: 可是又與cos(wt)+sin(wt)不符合
: 所以這種解釋......
: 如果各位了解我的困惑
: 煩請替我回答一下吧
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