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克拉瑪公式聯立方程式 在 Re: [求助] 三元一次聯立方程式空間向量- 看板tutor - 批踢踢實業坊 的推薦與評價
先由三平面中平行與重合的狀況即可分辨是否為無解、
三平面重合或無限多解(兩平面重合第三平面穿過兩重合平面行程一直線解)
從三平面的方向向量可看出任兩平面皆不平行,更沒有重合
若三平面兩兩皆不平行用克拉瑪公式,
當Δ≠0時恰有一解
當Δ=0時,若Δx = Δy = Δz = 0則三平面交於一線有無限多組解
反之任一不等於0,則三平面兩兩交於一線,無解
此題Δ=0→ 做行列式得到Δx , Δy , Δz都是 (3a-b-c)的倍數
→3a-b-c等於0則Δx = Δy = Δz = 0 → 有無限多組解
答案帶入只有(3)符合
其實克拉瑪寫起來很複雜做起來很快...
但是我覺得 上篇回覆那位大大的作法比克拉瑪更為簡單明瞭也好用!!
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至於他的準備知識跟克拉瑪感覺差不多0.0
準備知識中的方程組可以改寫,
有解狀況(d1,d2,d3)是ABC的線性組合這原PO應該看的懂
(偷懶後面用ABC表示那三點...)
如果ABC線性獨立,那用ABC三點做行列式≠0
ABC線性相依則行列式 = 0
先看這方程組改寫前他的Δ= | a1 b1 c1 |
| a2 b2 c2 |
| a3 b3 c3 | 這麼寫
則他的ABC三點所形成平面E假設為 αX+βY+γZ = k (哪來那麼多未知數....=___=)
(平面通過原點則k=0,不通過則k≠0)
代入ABC得到的三個方程式 a1α+a2β+a3γ=k
b1α+b2β+b3γ=k
c1α+c2β+c3γ=k 其實就像把
αβγ乘在 Δ= 1/αβγ‧ | a1 b1 c1 | ←α -(1)
(別忘了↑補這等號 | a2 b2 c2 | ←β -(2)
才會成立) | a3 b3 c3 | ←γ -(3) 再把(1).(2)加到(3)
所以當k=0,這麼做的結果竟然使(3)列變成 0 0 0 了!!
那行列式Δ=0啦
同樣的,k≠0的話Δ≠0→有唯一解
至於Δ=0之後D為何要在平面E上?
D如果在平面E上,D點帶進去也會符合αX+βY+γZ = 0
那一樣道理 Δx = Δy = Δz = 0
呃...好複雜= =...
中間有些部份為了好講其實作法小作弊,
還有些倒果為因,寫法不正確的請高手們別計較QQ
另外打的頭昏腦脹,有錯誤也請各位不吝賜教了~
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 218.173.58.1
※ 編輯: love96224 來自: 218.173.58.1 (04/07 02:28)
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