傳統投資組合理論主要的是以變異數來衡量風險，而其中又以 Markowitz（1952）提出的「平均數-變異數投資組合模型」最為著名。
在此模型中，由於共變異數矩陣的計算上較為困難且複雜，因此，Konno 及 Yamazaki（1991）另外提出了平均數-平均絕對離差模型，這個模型不但節省了計算時間，並且在求解最適投資組合時，也不需要共變異數矩陣，所以降低了計算上的困難度。
除此之外，亦有許多學者分別提出不同的風險測量方式，如Markowitz（1959）又提出了半變異數（semivariance）的觀念，而 Estrada（2008）即以此半變異數為損失風險的觀念發展出一種較簡易的平均數-半變異數模型；
其次，Bawa及Lindenberg（1977）以左偏動差（lower partial moment）做為損失風險的觀念而發展出平均數-左偏動差模型；
另外，Rockafellar 及 Uryasev（2000）則以條件風險值（conditional value-atrisk）為損失風險的觀念發展出平均數-條件風險值模型。
綜觀上述不同風險測量之投資組合模型，《不同風險衡量下效率投資組合之比較分析》這篇研究以半變異數、左偏動差、平均絕對離差、條件風險值來衡量投資組合的風險，與利用變異數來衡量風險作比較，分析其所求解出的最適投資組合之差異與進行相似度分析。
《不同風險衡量下效率投資組合之比較分析》文中發現在樣本內資料分析部分，MLPM 與 MSV 之間的相似度指數位居第一，而 MV 與 MMAD 之間的相似度指數較高。
https://pgfinnote.com/comparative-analysis-of-efficient-portfolios-under-different-risk-measurements/
共變異數矩陣 在 [程式] matlab 共變異數矩陣產生固定二維常態- 看板Statistics 的推薦與評價
[軟體程式類別]:
matlab
[程式問題]:
如何產生固定二維常態值
[軟體熟悉度]:
熟悉
[問題敘述]:
我想要產生一組二維常態隨機值，如[0.1231 0.0549]，但共變異數矩陣不清楚要如何設
定才可以產生比較接近[0.1231 0.0549]
[程式範例]:
mu=[0.1231 0.0549] %二維平均向量
sigma=[0.05 0.8; 0.8 0.05] %共變異數矩陣
data=mvnrnd(mu,sigma) %產生一個二維常態分配的值 (多變量常態)
結果不能編譯，跑出以下錯誤訊息
sigma must be a symmetric positive semi-definite matrix.
以上，謝謝!!
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