【選擇權必修學分(二)：價差下的凱利賭徒】謀權奪利真英雄-牧清華
圖文解說版:http://www.bituzi.com/2013/05/blog-post_29.html
本文摘要：許多人沉迷賭博一輩子，但直到破產那天，還不知道自己為什麼輸光？
本篇介紹凱利公式(Kelly Formula)，定義何謂小賭徒、凱利賭徒、大賭徒，
最後論述凱利賭徒如何在選擇權價差交易上獲利？
接續上篇我們介紹過何謂有利賭局？具有正期望報酬的賭局我們稱為有利賭局。
遇到有利賭局時，就是值得進場的時間點。現在問題來了，進場後要如何下注？
舉例來說：擲一枚錢幣，人頭與數字出現的機率各為50%，人頭出現所壓賭金全部輸光，故賠率為-1；數字出現所壓賭金翻為2.5倍(i.e.淨賺1.5倍)，故賠率為1.5。我們將此賭局用圖1去呈現。
(參圖1)
簡單的計算可知此賭局的獲利期望值為0.25，意思就是平均每賭1元，可以淨賺0.25元，25%的報酬率，可說是非常的好。然而，假設今天你有1000塊錢，可以玩這個有利賭局無限多次，你該如何下注？
你是要每一把都把手上的現金全壓呢(100%)？還是每一把都壓資金的一半(50%)？或是更保守一點，每一把只壓資金的10%？
重點來了！到底在有利賭局下，每一步要壓多少比例的資金，才可讓資產成長最快？凱利公式提供了解答。
我們假設p為獲利事件發生(即數字出現)的機率，b為獲利事件發生的賠率，以圖1的例子來說，p是50%(數字出現的機率)，b為1.5(數字出現的賠率)。凱利公式告訴我們，押注資金的最佳比例為
(參圖)
注意到這裡所謂的最佳比例，指的是可以讓你資產成長最快速度的下注方式。也就是在此有利賭局(圖1)下，每次都壓資金的1/6 (or 16.66%)，您的資產會成長最快。
舉例來說：今天有三號人物：小賭徒、凱利賭徒、大賭徒。三個都有1000元現金，可玩此賭局100次。
小賭徒比較保守，每次都壓手上現金的5%，
凱利賭徒根據凱利公式計算，每次都壓手上現金的16.66%。
而大賭徒最勇敢，每次都壓手上現金的一半(50%)。
則玩100次後，我們可以合理預期，凱利賭徒的資產會最多，勝於小賭徒，而大賭徒可能玩不到一百次就接近破產，救不回來了。
當然，我們可以實際跑Excel去模擬這樣的賭局，圖2為其中一次模擬的曲線圖。
(參圖2)
我們在回到凱利公式，觀察凱利公式的分子，其代表的意義為每一塊錢的"期望淨利" (說明：有p的機率會贏，贏的話可拿回1+b元，再扣掉成本1元，故期望淨利為 p(1+b)-1)。
當p為100%時，凱利公式的值亦為100%，也就是手上有多少現金就壓多少現金。這很自然，若您遇到一場百分百必勝的賭局，當然是把手上所有的錢全壓下去，甚至不惜借錢壓 。(ps: 雖不鼓勵借錢，但這裡的前提是"百分百必勝")
相反的，當凱利公式的分子等於0，或是小於0時，其建議我們不要壓下任何資金，這是場不值得玩的賭局。聰明的讀者這時可能會有所頓悟，凱利公式分子所代表的意義，期望淨利為正(>0)，正是有利賭局的充分條件。
這裡我們做個小結。另外關於凱利公式的原始論文，我們可追溯到1956年所發表的報告(參考文獻)。
1. 小賭徒壓的資金比例小於凱利公式所建議，因為是有利賭局，所以還是會賺錢，只是賺得不夠快，慢慢的賺。
2. 凱利賭徒根據凱利公式計算，用最適當的資金比例下注，資產成長最快。
3. 大賭徒壓的資金比例大於凱利公式所建議，即使是有利賭局，長期玩下去，破產輸光是遲早的事。
【選擇權價差與凱利賭徒】
凱利公式如何用在選擇權價差上呢？ 我們看下面這張多頭價差的損益圖，當大盤結算在7950點以下，最多就賠1750元；當大盤結算在8000點以上，最多就淨賺750元。而介在7950~8000點之間，我們暫且視為灰色地帶，平均賠500元。若不論中間的灰色地帶，左邊藍色的賠錢跟右邊綠色的賺錢，是不是跟圖1右邊的賠率圖很像呢？(若壓1元賭注，人頭出現最多賠1元；數字出現最多淨賺1.5元)。
(參圖3)
注意到，與傳統賭局不同之處是在事件發生的機率分佈。
一般傳統賭局對於可能會發生的事件，是"確定"的機率分佈。然而大盤結算在哪個位置，
是沒有人敢保證或是宣稱其所認定的機率分佈是正確的。每個人都有自己主觀認為的機率分佈。以下列圖4為例：
(參圖4)
圖4除了7950~8000點的灰色地帶以外，是不是跟圖1的左半邊機率圖很像？(圖1的人頭出現相當於圖4的結算在7950以下，機率為30%；圖1的數字出現機率相當於圖4結算在8000點以上，機率為60%)
因此，當您對自己認為的機率分佈很有信心時，你該怎麼下注？建議可多想想凱利公式帶給您的啟示。
反過來，當您對你自己認為的機率分佈很沒信心時，你該怎麼下注？建議您，先休息吧！股票市場天天開，天天都有賺大錢機會，別跟自己的荷包過不去。
凱利公式是我最喜歡的數學公式之一。對我來說，這公式非常有意義、且具有故事性、實用性。關於凱利公式的背景、由來、應用，我們有機會後續介紹！
【快速結論】
透過凱利公式的檢驗 (Kelly Criterion)，大部份的人會發現過去所壓的資金可能都過於龐大，這就是大部份賭徒總是輸光的主要原因： 1. 玩的不是有利賭局；2. 壓的過大！
只要有心，人人都可以是賭神！好好的研究凱利公式吧~
凱利公式模擬 在 [心得] 美股選擇權-用蒙地卡羅模擬計算凱利公式- 看板Stock 的推薦與評價
部落格完整內容:
https://blog.zmcx16.moe/2022/02/blog-post_28.html
之前在股板有分享這篇: [心得] 美股選擇權估值網站開發
https://www.ptt.cc/bbs/Stock/M.1643358618.A.750.html
做完選擇權估值模型大概快一個半月了, 目前我可以用選擇權理論估值跟目前市價計算
Bias程度, 合約有大幅溢價時可以賣出選擇權; 相反的有大幅折價時則是買進選擇權,
也有Delta值可以知道合約估值的行權機率, 用這些數據來決定要作買方還是賣方, 不過
還有一個大問題, 今天我想買進或賣出時, 我到底應該要買進 / 賣出多少部位, 才能達
到利益最大化呢?
另外也還有個問題, 今天我透過理論值以及實際值的偏差可以知道折價溢價, 在均值回歸
的作用下, 長期的進行溢價時賣, 折價時買, 大數法則下通常長期下來是會有正報酬的,
可是今天也有可能, 大眾的方向一直是對的, 會溢/折價是因為大方向趨勢就是那樣, 跟
著群眾大方向作對, 搞不好長期下來反而造成負報酬也說不定。
所以現在有兩個問題想要解決:
1. 交易時我該買進 / 賣出多少部位, 才能利益最大化?
2. 不考慮選擇權折溢價, 單純從標的物(股票)順勢交易的角度看, 我到底該買進, 還是
賣出?
剛好這兩個問題, 都可以透過凱利公式解決, 關於凱利公式我相信有在投資的人應該都不
陌生, 這邊就不再介紹, 有需要可以自行Google或看上面部落格文章。
再來就是思考怎麼把選擇權交易套用在這個公式上, 這樣就能知道這選擇權合約我是不是
該交易, 並且交易多少部位才合適。 以買進買權/賣權來說, 獲利無限(僅限買權, 賣權
最高100%)且風險有限(權利金), 所以我們可以得出虧損金額就是買進合約的價格, 但是
其他參數就不確定了, 獲利無限代表獲利金額不確定(畢竟投資市場不是賭博遊戲, 賠率
不是固定好的), 獲利機率跟虧損機率, 則是看合約到期時, 標的物價格是否達到行權價
+ 你付出的合約價的機率, 這個值也沒有一個確定可用的值(delta是行權的機率, 可是不
包含合約的價格, 所以也不適合), 沒辦法把估值模型的結果套用在凱利公式上。
後來思考了幾小時, 想到這個問題或許可以用蒙地卡羅解決, 我只要用蒙地卡羅模擬未來
標的物到合約到期日的價格, 我就可以用這個結果, 去得到預期賠率, 獲利機率以及虧損
機率。 關於蒙地卡羅模擬未來價格這塊, 可以參考雷大寫的這篇文章:
https://blog.raymond-investment.com/stock-simulation-monte-carlo/
雷大網站模擬器:
https://raymond-investment.com/FinancialEngineering/MonteCarlo
蒙地卡羅模擬公式:
蒙地卡羅公式的參數部分等等會再提, 先來看看怎麼完成選擇權的凱利公式吧, 首先我們
可以先假設個股A的最近收盤價為100, 近一年報酬率為15%, 年化波動率也是15%, 跑10次
蒙地卡羅模擬, 可以得到下面這張圖:
可以看到這10條線模擬, 最高股價可以到接近140塊, 最低則是80幾塊, 會這樣不均勻是
因為年化報酬率是正值的關係, 如果我們把年化報酬率設成0, 則是如下:
看起來均勻一點了, 如果我們把模擬次數調更高, 結果應該會更顯著。
再來我們想計算個股A的某張B買權合約, 假設B合約行權價是102元, 離到期日還有100個
交易日, 合約市價目前是3元, 來畫兩條橫線以及一條直線, 橫線分別是行權價(102)以及
行權價 + B合約的市價(102+3=105), 直線則是到行權日還有幾個交易日(100)。
根據模擬結果, 紫線(105元)上面的6個點是模擬結果為有獲利的; 而紫線下面的4個點則
是虧損, 其中介於紫線跟橘線的1個點是部分虧損(有行權但是扣掉合約價格為虧損), 橘
線下面的3個點則是固定虧損(沒有行權故損失合約價), 這樣我們就能得到凱利公式所有
需要的參數了:
獲利金額: (106-105)+(106-105)+(107-105)+(108-105)+(114-105)+(116-105) = 27元
獲利機率: 6/10 = 60%
虧損金額1(有行權但扣掉合約價為虧損): |(103 - 105)| = 2元
虧損金額2(沒有行權直接損失權利金): 3 + 3 + 3 = 9元
總虧損金額: 2 + 9 = 11元
虧損機率: 4/10 = 40%
賠率b = 27 / 11 = 2.4545; 下注比率 = p - (q / b) = 0.6 - (0.4 / 2.4545) =
43.7%
凱利公式建議每次下注可以下43.7%, 這邊要特別提醒的是, 凱利公式的前提條件是可重
複的特定賭局, 而選擇權交易是不可重複的, 所以得出來的結果千萬不要就直接拿來用,
一定要估個安全邊際, 才能確保不會被雜訊或肥尾事件搞爆, 畢竟在不是重複賭局的情
況, 賠率, 獲利機率跟下注比率每次都不一樣, 要是遇到一次高投注比率之後幾百次都是
低下注比率, 那輸那一次就輸慘了, 公式只能是參考, 千萬不要盲信!
再來就是蒙地卡羅的模擬次數不夠多, 樣本數不夠的情況下, 模擬結果的信心程度也會大
減, 下注比例最主要還是要以自己可承受的風險為最高原則。
上面計算的是買進 call / put的凱利公式計算, 而賣出 call / put的凱利公式其實算法
也一樣, 畢竟選擇權是零和遊戲, 把獲利跟虧損換過來就行了(獲利有限, 風險無限)。
再來就是直接計算真實的選擇權合約了, 這部分已經實作進選擇權估值模型, 年報酬率的
取得直接使用近一年的個股回報率, 波動率則是用之前做好的EWMA Volatility, 另外關
於蒙地卡羅股價模擬的參數, 過去的波動率跟未來的波動率通常差距不大(除非有重大事
件或營運忽然變化太大), 所以直接拿來用我覺得是可行的。
可是個股回報率這塊其實有點雞肋, 畢竟真要說起來, 過去的績效不代表未來的績效,
當然也有那種公司跟股價一起穩定成長的公司, 可是像景氣循環股, 或是相對公司營運
反而炒作成分較大的個股, 用過去的個股回報率去模擬未來股價我反而覺得失真會更大,
所以這部份我乾脆就通通計算了, 分別使用個股年回報率=0以及過去一年回報率來計算對
應的凱利公式。
整合後的結果如下:
Backend code
https://github.com/zmcx16/Norn-Finance-API-Server
Frontend code
https://github.com/zmcx16/Norn-StockScreener
投資網站
https://norn-stockscreener.zmcx16.moe/options/
可以看見, Bias折價極高的合約, 凱利公式大多建議是當買進一方, 大多數情況下, 極大
折價的合約做買方是比較有優勢的, 不過相反情況其實也有可能, 如果Bias顯示是折價,
可是凱利公式建議你當賣方, 那表示可能合約價格的影響極低, 所以扣掉合約價(風險後
), 剩下的就只剩勝算了, 只看勝算的話那Bias等於沒用(畢竟看折溢價要站在對立方才有
意義, 價差不大就只剩波動率問題了), 等於只看能不能行權。
像上表其中一筆AMZN, 雖然折價高可是凱利公式建議當賣方, 可以看到因為AMZN的delta
值極低(0.05), 這代表這份合約會行權的機率極低, 所以凱利公式建議我們當賣方是合理
的。
那為什麼估值上Bias折價為什麼那麼高呢? 原因是比例問題, AMZN的目前股價3075元, 行
權價3800元, 行權價跟現價差了23.55%, 距離行權日3/18只剩三星期, 所以很難行權, 可
是合約還是有在交易, 而且便宜的驚人(0.35), 合約市價只佔標的物價格的0.0114%, 幾
乎快跟免錢沒兩樣了, 而估值模型估出來的合理價是7.32元, 佔標的物價格的0.238%, 也
是超級便宜, 所以估值模型的Bias會跟凱利公式不同調, 只是因為AMZN股價太高, 所以便
宜的合約的Bias敏感度也跟著被拉高, 這也是不能單看Bias去做交易的關係, 而多了一項
凱利公式作為判斷的基準, 讓我們在做買進 / 賣出決策時多了一個更好的參考點。
那反過來說, 是不是專挑凱利公式投注比率最高的交易就好呢? 來看看用凱利公式排序
Buy的結果:
排序下來得到的都是價內合約, 所以delta值也幾乎是1, 照理說價內合約應該幾乎沒時間
價值, 賠率低勝算高, 那為什麼凱利公式算出來的投注比率會高呢? 可以看看合約的最後
交易日期, 都沒有最近一次交易日2/25, 代表這些合約其實都有點深度價內, 沒人在交易
了, 所以標的物價格離很遠, 看起來賠率很高&因為在深度價內所以勝算也高, 但實際上
這些合約都買不到了, 上面的價格已經是好幾天前的價格, 這些資料對交易基本上沒有參
考價值。
看完Buy排序的結果, 再來看看Sell排序的結果吧:
跟想像的一樣, 都是深度價外的合約, delta值也都趨近於0, 代表這些合約幾乎不可能行
權, 所以凱利公式才會建議下大注賣。
值得一看的是跟排序Buy不同, 最近一次交易日有近一半是2/25, 代表這些合約在最近一
次交易日是有被交易的, 這表示不少人喜歡買這種深度價外的合約, 就像買樂透一樣用少
少的錢去賭一把看能不能行權, 然後也可以看到其實這些合約還是有些小Bias折價的, 而
到底要看Bias溢價折價當買賣方, 還是看凱利公式決定, 這沒有標準的答案, 不過我自己
個人看法是, 如果兩邊都是同調&強力的話, 挑選這些合約做交易, 我相信長期下來獲利
的機率是會比較大的。
這次分享就到這邊, 目前試著交易了快兩個月選擇權, 目前的獲利還算不錯, 今年至今資
產總報酬17.3%:
不過大部分都是個股獲利, 選擇權獲利大概只佔10%左右, 絕大多數獲利都是1X%~20%的價
外賣權, 主要賺權利金, 要是真的行權就當加碼, 跟過去只交易個股不開槓桿不同, 現在
會把選擇權行權做為槓桿操作的部份, 今年打算配合選擇權交易動態調整總資產槓桿的
0%~25%左右。 另外也有少量買進一點買權(HUM)賣權(FB, PYPL), 不過量很少, 畢竟買方
勝率低, 我只會拿賣方賺的部份權利金去小賭, 另外賭的方式當然最主要還是參考Bias跟
凱利公式, 可是最重要的還是以趨勢為主,
像FB跟PYPL就算Bias或凱利公式算出來在怎麼甜, 我還是會先以自己的多空判斷的方向為
主, 在從這個方向去看估值模型挑最划算的合約才交易。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.194.201.118 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Stock/M.1646398630.A.DBD.html
我在多抓個安全邊際對交易來說也比較有信心些。 估值模型跟凱利公式我都是參考用,
實際上最後還是要看自己主觀判斷, 模型只是輔助而已。
說, 等肥尾事件塔雷伯有說他在實際操作, 可是我直觀就覺得自己一定做不到, 心態上一
定會崩盤(要忍受好幾年持續虧損沒有強健心態+對自己的模型極有自信根本不可能), 所
以我自己是選另一邊站, 只要槓桿率不要太高, 能存活下來就好。
※ 編輯: zmcx16 (123.194.201.118 臺灣), 03/04/2022 22:06:12
會最多拉升25%的槓桿, 至於買進買權/賣權的部份只是拿之前賺的部份權利金小賭, 輸了
就算了。 槓桿用不好會直接畢業破產, 所以我只打算把槓桿率拉到頂多1~2年薪水能補的
程度就好, 再高我也受不了...。
好處就是能活下來, 只要你投資的都是賺錢的公司的話...
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