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【搬運計畫：積分前篇｜重點十：四大積分基本方法之二：三角置換法｜精選範例 10-4｜張旭微積分】
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本影片透過計算圓的面積來實戰練習三角置換法。要特別注意的地方是，這個不是計算圓形面積的證明，因為這個計算本身的源頭已經運用了圓面積公式，所以這個計算只能用來當作驗算圓面積公式的一個方法
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【摘要】
本影片透過計算圓的面積來實戰練習三角置換法。要特別注意的地方是，這個不是計算圓形面積的證明，因為這個計算本身的源頭已經運用了圓面積公式，所以這個計算只能用來當作驗算圓面積公式的一個方法
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【積分篇】
重點一：定積分直觀觀念 (https://youtu.be/gOuE68S3kXw)
重點二：奇偶函數的積分 (https://youtu.be/-UOnX6PWogc)
重點三：定積分正式定義 (https://youtu.be/9igA5vuk5Zc)
重點四：積分運算性質 (https://youtu.be/WOyCaUMVmbw)
重點五：微積分基本定理 I (https://youtu.be/T3o_OU2J9ss)
重點六：不定積分與反導函數 (https://youtu.be/fJhHZ9Hk1ec)
重點七：雙曲函數 (https://youtu.be/gfjGpy-pNIs)
重點八：積分表 (沒有講解影片)
重點九：四大積分基本方法之一：變數變換法 (https://youtu.be/trMid_t8_us)
重點十：四大積分基本方法之二：三角置換法 (https://youtu.be/VL--z89nYBs)
├ 精選範例 10-1 (https://youtu.be/kflmL1YIZbY)
├ 精選範例 10-2 (https://youtu.be/0Rc6tmLmI_g)
├ 精選範例 10-3 (https://youtu.be/JDBrRlDWpv8)
└ 精選範例 10-4 👈 目前在這裡
重點十一：四大積分基本方法之三：分部積分法 (https://youtu.be/VwUK8_JAuwk)
重點十二：積分表 (沒有講解影片)
重點十三：四大積分基本方法之四：部份分式法 (https://youtu.be/FDxrP8FT3yE)
【積分後篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXhFI6OnDy0la5MqPOnWtoU7)
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電子書 (手稿e-book) (共261頁) (HK$199)
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中第23點
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Calculus 微積分系列︰ https://www.youtube.com/playlist?list=PLzDe9mOi1K8o2lveHTSM04WAhaGEZE7xB
適合 DSE 無讀 M1, M2，
但上左 U 之後要讀 Calculus 的同學收睇
由最 basic (中三的 level) 教到 pure maths 的 level，
現大致已有以下內容︰
(1) Concept of Differentiation 微分概念
(2) First Principle 基本原理
(3) Rule development 法則證明
(4) Trigonometric skills 三角學技術
(5) Limit 極限
(6) Sandwiches Theorem 迫近定理
(7) Leibniz Theorem 萊布尼茲定理
(8) Logarithmic differentiation 對數求導法
(9) Implicit differentiation 隱函數微分
(10) Differentiation of more than 2 variables 超過2個變數之微分
(11) Differentiation by Calculator 微分計數機功能
(12) Application of Differentiation - curve sketching 微分應用之曲線描繪
(13) Meaning of Integration 積分意義
(14) Rule of Integration 積分法則
(15) Trigonometric rule of Integration 三角積分法則
(16) Exponential, Logarithmic rule of integration 指數、對數積分法則
(17) Integration by Substitution 代換積分法
(18) Integration by Part 分部積分法
(19) Integration Skill : Partial Fraction 積分技術︰部分分式
(20) Integration by Trigonometric Substitution 三角代換積分法
(21) t-formula
(22) Reduction formula 歸約公式
(23) Limit + Summation = Integration 極限 + 連加 = 積分
(24) Application of Integration – Area 積分應用之求面積
(25) Application of Integration – Volume 積分應用之求體積
(26) Application of Integration – Length of curve 積分應用之求曲線長度
(27) Application of Integration – Surface area 積分應用之求表面積
(28) L’ Hospital rule 洛必達定理
(29) Fundamental Theorem of Integral Calculus 微積分基礎原理
(30) Calculus on Physics 微積分於物理上的應用
(31) Calculus on Economics 微積分於經濟上的應用
(32) Calculus on Archeology 微積分於考古學上的應用
之後不斷 updated，大家密切留意
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Pure Maths 再現系列 Playlist： https://www.youtube.com/playlist?list=PLzDe9mOi1K8os36AdSf64ouFT_iKbQfSZ
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圓面積證明積分 在 Re: [問題] 圓、橢圓的積分- 看板tutor 的推薦與評價
※ 引述《aack (喔)》之銘言：
: ※ 引述《Eshow (No pain No gain)》之銘言：
: : 莫名其妙看到 阿積不出來很難過 問問看
: : 圓的周長= 2pi R ---->怎麼積來的？
: 考慮極座標上一個半徑為a的圓r = a
: 2π 2π |2π
: 週長 = ∫ ds = ∫ adθ = aθ| = 2πa
: 0 0 |0
要用此積分得圓弧長值是可以
但是....今天如果要證明圓的週長＝2πr
用這極座標的積分去證明....基本上是倒果為因
因為極座標表達『圓弧線元素』是rdθ
這就是由圓的弧長公式所得到的.....
圓的弧長公式＝rθ （measure in radian）
極小的圓弧長就是自變量作為小的變化 （dθ）
所以用積分在極座標下來論證圓弧長公式是倒果為因的
要說明的應該是...圓的弧長公式為什麼是rθ？
（當θ＝2π時 自然就得到了圓的週長＝2πr）
首先
人類在古時候發現圓的周長和半徑呈現正比的線性關係（無數的經驗累積）
P＝kr （P是圓周長 r是半徑 k就是那個線性的比例常數）
並且這個k經過測量後似乎是固定的（不會因為圓的大小而有所變動）
k可以得到大約是6.283...左右的數字
問題是 怎麼知道 k 是固定的呢？
搞不好有一天因為不同的圓而產生不同的值
這是不可能的...因為相似多邊型 對應邊長成比例（這可由幾何原本中得到證明）
而『所有的圓』都是相似的 根據相似性原理
圓的『周長比』會等於『半徑比』 這就得到了 k 必為定值
此值我們現在稱為2π
圓周長既然解決
部分弧長的公式也可以根據相似的比例原則得到
弧長 s＝rθ （θ is measure in radian）
積分中的『圓弧線元素』是rdθ就是根據弧長s＝rθ而得到的
用以證明圓周長公式絕對是倒果為因的
在這裡提一下此事
因為我記得好像很多人用這種方法證明圓周長公式 並且以為這樣子做是對的
另外 利用積分來證明圓面積公式＝πr^2 也同樣是倒果為因....
講一點題外話
平常人們測量角度的表達使用度度量（measure in degree）
而不喜歡用徑度量（measure in radian）
因為度度量表達起來直觀，簡潔，等量分割圓為360度角，
容易使用圖像的聯想以粗估角度大小
而徑度量卻不然 他大小的表達是無理數的分割（2π的分解） 很不直觀
自古以來人類就懼怕無理數（即使到現在也是）
那麼為什麼數學喜歡徑度量而不喜歡度度量？
弧長公式與扇型面積公式的表達較度度量為簡潔（s＝rθ A＝1/2θr^2）
這固然是原因 但還不夠充分...（度度量也做得到）
為什麼徑度量為成為...數學中表達角度的主流？
主要原因還是因為以下的這個極限
sinθ
lim ------- ＝1 這只有在θ在徑度量才是真確的......
θ->0 θ
而這個極限，卻是在高等數學中相當重要的....（它不是1....那就難過了）
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 203.73.203.174
※ 編輯: yonex 來自: 203.73.203.174 (03/17 03:27)
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