看到一篇熱門分享的貼文《一堂物理課，了解貧富差距的根源》，在某個經濟學社團引發激烈的學術(?)討論。合先敘明，我認為這位老師非常認真，很用心將物理學、經濟學和哲學連結起來。
Liou YanTing：一堂物理課，了解貧富差距的根源
https://www.facebook.com/permalink.php?story_fbid=3403616276360627&id=100001368650813
不過，將猜拳遊戲與氣體動力論胡亂連結，反而模糊了一些真正能套用的概念。在談論分配正義時，將財富自由分配簡化為貧富不均的對立，然後傾向政府需要介入。這是一種非常危險的「正義」，我不認同這叫做所謂「科學與人文的思辨之旅」。
※本篇附圖是網友提供：「沒有要酸的意思但我真的想到這張圖。」
Part 1
電容放電曲線呈指數衰減，放射線衰退曲線呈指數衰減，跟美國財富分配圖是不是有異曲同工之妙呢？紫外光殺菌的曲線也呈指數衰減，是不是跟猜拳遊戲還有財富分佈一樣呢？
這是典型的物理半調子。物理模型的相似性，來自數學模式的相似性，與物理現象無關。我最常舉的例子是，測不準定理來自波的數學性質，與量子力學無關的訊號波，也會有測不準定理，這些都可以用傅立葉分析推導。量子力學的意義在於賦予測不準定理另外的物理詮釋。
但我發現很多物理系學生誤以為測不準定理一定是量子力學的現象，甚至到研究所階段都不知道電機系做訊號對測不準的理解，搞不好比物理系更深刻。這是一種鄙視鏈和反鄙視鏈。
所以，文中的波茲曼分布，來自統計的數學性質，並不建立在氣體動力論之上。更何況，指數遞減現象在各種科學和工程領域都很常見，這是自然的數學模式。根據奧坎剃刀原則，你扯進氣體動力論，只是騙不懂物理的外行人，跟你一起誤解物理罷了。
只要某一現象符合「衰減速度與值成比例」性質，寫下數學式和解微分方程的結果，就必然出現指數衰減曲線。我認為這是數學程度40分就能理解，物理程度大概要60分，才不會被表象迷惑的性質。
數學系的訓練是提取抽象模式，但一般數學系學生沉迷於符號推演之美，不去思考真實問題。物理系的訓練是建構近似模型，但一般物理系學生時常忘記模型僅是近似，並且把數學模式的必然性誤理解為巧妙的真理。
這個我特別有感，因為我當年同時修數學系和物理系的課，花了很多時間掙扎兩邊做學問方法不相容。物理系學生大三修完量子物理，幾乎不會去思考波動力學為何與矩陣力學等價，對修過微分方程和線性代數的我卻是很自然的事，然而數學系學生卻大多不會碰觸量子力學，無從思考他們所學理論意義何在。
原文作者所犯的其實是物理系常見通病，連許多教授都無法倖免。由於缺乏對物理模型和數學模式的深刻理解，只由結果腦補關聯性，甚至把沒有物理意義的中間演算，硬套憑空想像的詮釋，美其名為物理圖像。我大學時期聽到這類似是而非的所謂「物理解釋」都覺得異常痛苦。
例如上述的指數衰減，如果你問一個成績優秀的物理系學生，他或許會列舉許多指數衰減的物理現象，並讚嘆物理規律的美妙。但能回答下一個問題的學生就少了，為什麼這些現象都呈指數衰減？
這問題其實很簡單，只要回到微分方程去看，它的本質是衰減速度與值成比例，凡是符合此性質，就必然得到指數衰減的數學規律。物理是參透自然的數學語言，對自然的理解，很大一部分取決於語言能力的掌握，即為我所強調的數學模式。
Part 2
對岸的知乎有一個討論串，更深入地探討了分配遊戲的模擬。
房间内有 100 人，每人有 100 块，每分钟随机给另一个人 1 块，最后这个房间内的财富分布怎样？ - 知乎
https://www.zhihu.com/question/62250384
我覺得這篇文章沒什麼問題，你注意到他說隨機遊走相當於求解離散空間的熱傳導方程，這是將一個待解問題轉化為一個已知問題，純粹是數學模式的相似性，他沒有將隨機遊走的分布解，建立在熱力學物理之上。
貧富不均為穩定態，均富為非穩定態，其反直覺的思維誤區在於，「平均分布」僅是「穩定分布」的一種少見子集，絕大多數情況的「穩定分布」不是「平均分布」。例如，二項分布、常態分布，都不是人人均等。
說到底，「平均值」僅是平均後的一個值，常態分布以平均值為對稱，不代表區間每個值一定均等。
統計分布的穩定態，取決於機率密度函數的長相。你可以批評這個數據模擬，誤用熱力學模型解釋人類經濟現象，真實世界不存在完全隨機的交換行為等等。但這些批評並不到位。
因為它只是一個經濟行為的玩具模型(toy model)，遊戲規則決定機率密度函數，進而決定穩定態的分布，算出來正好是狄利克雷分布。又恰巧與離散空間的熱傳導方程相似，則是後話。
我們也可以用一些物理的解釋。大多數人誤解了，物理的結果是「穩定態」，本來就不一定是「均等態」。在這個實驗之中，什麼條件會出現均等態？或許是每分鐘隨機分配給所有人自已手上所有的財產，能量的交換不加任何限制。
所以反過來想，遊戲規則限制了每分鐘隨機只能給另一個人1塊，當我因為機率的偶然，手上財產從100元掉到80元，我就更往破產的機率傾斜了。反之，我從100元變為120元，但下一回合我仍然只要給別人1塊，我的優勢就隨時間演化變大了。
我個人特別喜歡它後續做的「允許負債」模擬，以及「努力多1%競爭優勢」模擬，令人慶幸沒有出現反直覺的悲劇結果。自由競爭之下努力有意義，相當勵志，不是嗎？
經濟學的解釋，當然不能只是「要求平等均富的社會本身正是反自然的存在」，那僅僅只是「限定遊戲規則之下貧富不均是統計的穩定態」。
至於這個遊戲規則，離真實世界有多遠，當然很遠，但咱們學經濟的講機會成本。你不用這個遊戲規則，用另一個遊戲規則，會不會發生一樣的貧富不均結果？看起來很有可能會，但沒證據我不確定，有一說一才是科學精神。
或許在任何遊戲規則之下，只要不脫離「每分鐘隨機給出的數額有限制」的基本假設，都會跑出貧富不均的分布結果。而這個基本假設，在真實世界中也不可能捨棄，那麼這個數據模擬就有其參考價值。我們可以說，不論任何制度必然會有貧富不均的狀況出現，這才是最正常的現象。
參考閱讀：
巴斯夏的蠟燭工坊：今天臉書有一篇遭到瘋傳的經濟學相關文章，堪稱經濟學程度的照妖鏡
https://www.facebook.com/329896911051695/photos/a.358878471486872/642324269808956/?type=3
（我貢獻了 巴斯夏的蠟燭工坊 這篇文章的某些段落。）
散度定理物理意義 在 Re: [問題] 請問梯度散度和旋度的最初定義- 看板Grad-ProbAsk 的推薦與評價
以上是我很久以前導的旋度定理
但有人說我錯很大
他說以下有式子不能無緣無故消去，我也覺得很奇怪，
我是哪裡推導錯誤了呢?
※ [本文轉錄自 Physics 看板]
作者: ntust661 (661) 看板: Physics
標題: Re: [問題] 請問梯度 散度 和旋度的最初定義
時間: Wed Dec 2 00:37:01 2009
來講旋度
純粹討論二維度的旋度
旋度，代表的是 (1)環流密度
(2)向量場的旋轉趨勢。
在向量場中，我要開始找他的"旋度"
那要如何判別渦漩的大小呢?
就是看他一整圈流量積分(Flow)的大小而定
Flow Integral
→ →
∫ F ‧ T ds = 流量大小
c
F 向量場
T 單位切線向量
ds 微小的曲線段
c 積分路徑
它的物理意義，
你想想看，水槽開始放水，你在水流中想像一個圓圈，
是不是大部分(幾乎)的水流都會與你的圓圈"相切"呢?
再想一個，水龍頭的水往下落，到水槽的時候，會往外散開
你想像一個圓圈，會發現水的流向與圓圈不相切(大部分是互相垂直)，
這時候是不是沒有看到水在"旋轉"呢?
這時候看看流量原始的定義，我既然是與曲線相切的方向才會保留下來
那保留下來的越多，代表順著曲線的流量越大，
現在把曲線封起來成一個封閉曲線。是不是發現，流量越大，轉的趨勢會越大。
現在，"旋度"這個東西我要從以上所描述的意義開始導出他的樣子。
目標 : 計算旋度 (Curl)
已知 (1) 左下角我設為原點(x,y)
(2) 微小單位的長度代表 Δx ，寬度代表 Δy
(3) 向量場 F = < P(x,y) i + Q(x,y) j >
(4) 逆時針為正
圖形
←
(x,y+Δy) (x+Δx,y+Δy)
┌───┐
│ │Δy
↓ │ │ ↑
└───┘
(x,y) Δx (x+Δx,y)
→
很簡單，既然是個不平滑的曲線，就分段來做。
Flow 總流量 會等於以下的總和。
total
--------------------------
Flow 頂部的流量
top
+
Flow 底部的流量
bottom
+
Flow 左邊的流量
left
+
Flow 右邊的流量
right
---------------------------
先計算底部流量
定義
→ →
∫ F‧T ds
c
現在曲線 c 是條直線，然後因為 i 方向與底線平行，所以只留下 i 方向 P
則底部的流量 = P(x,y) Δx
其他依此類推
得到 底部流量 P(x,y) Δx
頂部流量 - P(x+Δx,y+Δy)Δx
右邊流量 Q(x+Δx,y) Δy
左邊流量 - Q(x,y+Δy)Δy
放一起，
- P(x+Δx,y+Δy) Δx + P(x,y) Δx + Q(x+Δx,y) Δy - Q(x,y+Δy) Δy
這時候 加 P(x,y+Δy) 減 P(x,y+Δy) 加 Q(x+Δx,y+Δy) 減 Q(x+Δx,y+Δy)
會變成
d P d P d Q d Q
( - ─── Δx - ─── Δy ) Δx + ( ─── Δx - ─── Δy ) Δy
d x d y d x d y
Δx 逼近趨近於零變成 dx
Δy 逼近趨近於零變成 dy
dxdx dydy 的項 小到不能在小...所以消掉。
剩下的就會變成
d Q d P
( ─── - ─── ) dx dy
d x d y
這時候除以微小面積 dA = dx dy
就會變成你原本單純積分出來環流除面積 = 環流密度
環流密度也就是旋度，
所以你大概可以知道旋度的意義了吧?
PS
有很多我還沒有說，現階段知道這些就夠了吧@.@~
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