【數感生活——成長率、幾何平均數，偶爾還有算術平均數】
最近成長率又成為熱門的時事議題。某位教授先用相加的算術平均數，得出台灣4年來的成長率為2.44%。被抨擊「怎麼可以用算術平均數來算成長率，成長率是類似複利的概念，要用相乘再開根號的幾何平均數才對」
之後，該教授又貼了一則文章，解釋算術平均數跟幾何平均數在這個情況下是很接近的，所以方便起見他用算術平均數，並附上了數據與程式碼。
當然程式驗證是沒問題的，不過比起程式，數學上的驗證同樣重要且有趣。許多網友已經指出，若是要講究嚴謹，使用「泰勒展開式」會是一個不錯的工具，來證明在面對成長率這種議題時，當成長率不大，算術平均數的確是幾何平均數的近似值。
在這邊，我們提供一個更簡單的，必然曾經出現在各位國高中黑板上的算式來解釋。
首先，
(1+a)(1+b)=1+(a+b)+ab
當a、b都很小，以台灣成長率來說最高不超過0.03。你可以想像ab的值最大也只有0.0009，小到可以忽略了。所以我們可以得到
(1+a)(1+b)≈1+(a+b)
同樣的道理，推展到4個年度的成長率相乘(是不是覺得數學能夠推展的特性真是很棒很好用呢?)，成長率分別是a、b、c、d，可以得到
(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)≈1+(a+b+c+d)
假設這四年的(幾何)平均成長率是g，同樣可以寫出
(1+g)(1+g)(1+g)(1+g)≈1+(g+g+g+g)=1+4g
整理後就能得到
g≈(a+b+c+d)/4
的結果，近似符號右邊是算術平均數，左邊的g則是幾何平均數。
以上，就是為什麼算術平均數跟幾何平均數在這個狀況下，答案會差不多的原因。不過我們要強調，兩者的根本意義完全不同，不能只因為「在某些狀況」答案很接近，就覺得選哪個都無所謂，不明究裡的方便主義會出問題的。舉個反差很大的例子，倘若某年成長100%，隔年衰退50%。
則算術平均數是(100-50)/2=25，平均成長25%。可真正的成長狀況是2x0.5=1，根本沒有成長，幾何平均數是0%。
這時候就差很多了。數據可以有不同的解讀，但回到數學本身，正確答案只有一個。
PS: 感謝 張宏彬 （Hung-Bin Chang）博士協助勘誤XD 也歡迎網友熱心補充泰勒展開式版的說明 ( Sean Huang博士不來一下嗎) ~
PS2: 我們沒有要幫該教授辯護的意思，基本上我認為在沒有解釋清楚的前提下就使用算術平均數去近似，是有失嚴謹的，儘管事後他有補充說明。撰寫這篇文章的本意只是試圖用數學的角度，讓大家理解為什麼，以及在什麼情況下，算術平均數與幾何平均數得到的結果近似。
根號4符號 在 [請益] 有關根號- 精華區teaching 的推薦與評價
目前在教導學生(升國二)根號的概念
但是不知道該如何和學生解釋這樣的觀念
例如四的根號是正負二 學生不能懂為什麼
我是說 每個數都有兩個根 正根還有負根
所以在開根號的時候要記得正負
但是剛剛看精華區 有人說根號開出來一定是正的
請問 有關根號完整的觀念是怎樣呢?
如果要教導國二的學生 如何講解比較適合?
感謝回答
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 59.116.14.104
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: tommmy (流星) 看板: teaching
標題: Re: [請益] 有關根號
時間: Fri Aug 10 03:31:40 2007
※ 引述《WhiteDemon (懷特戴蒙)》之銘言：
: 目前在教導學生(升國二)根號的概念
: 但是不知道該如何和學生解釋這樣的觀念
: 例如四的根號是正負二 學生不能懂為什麼
: 我是說 每個數都有兩個根 正根還有負根
: 所以在開根號的時候要記得正負
: 但是剛剛看精華區 有人說根號開出來一定是正的
: 請問 有關根號完整的觀念是怎樣呢?
: 如果要教導國二的學生 如何講解比較適合?
: 感謝回答
根號一定是正的...
也就是說..根號4..是2..
但是..4的平方根..就是正負2..
因為4的平方根..指的其實是就是接下來的解一元二次方程式的特例..
即x^2=4，則x=正負2..(因為2跟-2代入方程式均滿足)
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 219.68.40.113
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: tigerbojo (奇珍異果) 看板: teaching
標題: Re: [請益] 有關根號
時間: Mon Aug 13 21:54:59 2007
※ 引述《WhiteDemon (懷特戴蒙)》之銘言：
: 目前在教導學生(升國二)根號的概念
: 但是不知道該如何和學生解釋這樣的觀念
: 例如四的根號是正負二 學生不能懂為什麼
: 我是說 每個數都有兩個根 正根還有負根
: 所以在開根號的時候要記得正負
: 但是剛剛看精華區 有人說根號開出來一定是正的
: 請問 有關根號完整的觀念是怎樣呢?
: 如果要教導國二的學生 如何講解比較適合?
: 感謝回答
你有跟孩子聊過求平方根的來由與定義嗎?
我是這樣跟我的孩子說的~~~平方{根}在數學領域裡面~根=解!!
換句話說~~求平方根其實換句話說就是求平方解!
他們剛升國二，想必然一定可以接受方程式的解就是可以使等號成立的值，
所以~~在平方的說明裡我會這麼開頭.....
X^2=30(可舉例有一個已知正方形面積30要求邊長X?)
這時候我們開始要求解!也就是求根!這樣的動作就是在做開根號~~~
當我可以找到ㄧ個數值X=(根號30)，帶入X^2=30可使等號成立!那麼這就是平方根(解)!
如果這個觀念他可以接受的話，接著就好辦了~~~
你問他:在國一的時候不是有提過~~負數一定會被偶數次方吃掉(負數有偶數個必為正)
換句話說(X^2=某數)是不是有可能隱藏著正負數兩種答案~~
再來~~~求根號為什麼出來的值必為正?你反問他~~~~那請他告訴你~~哪個東西連乘兩次
還會得到負數?不可能吧!!!(同號數相乘必為正阿!!)
不知道有沒有幫到您~~~~大家分享一下!!!
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 59.114.216.55
... <看更多>