#安全性與保護力都不確定的疫苗可以拿來混打嗎？混蛋！只有混蛋會這樣想。
指揮中心說要由「專家」決定是否要第一劑打莫德納的人，第二劑用混搭高端來完成疫苗注射。指揮中心的專家決定，一向都是秉承上意的專家，就算是有專業，都可以遮掩住良心，揣摩上意做決定。這個先放一邊，讓我們想想一些基本的事情先：
一個保護力與安全性都還不確定的藥，單獨用是否適合，都還不知道，怎麼可以拿來混合使用呢？先不考慮高端，今天假設你有個藥物X，效果與副作用還沒有評估完成，你可不可以去評估X跟A藥物混用的效果與副作用呢？如果混用有效，你怎麼知道是A的效果還是X的效果？如果混用有副作用，你怎麼知道是來自於A還是來自於X？
很基本的概念，只有當兩者的效果與副作用發生的機率都很清楚了，我們才能夠知道混用之後的效果與副作用是增加還是減少。如果X本身都還不清楚，就跟其他混用，出來的結果將是一團亂，沒有多大意義。
當然，目前看起來指揮中心是要比較兩劑都莫德納與一劑莫德納一劑高端有沒有差異，但是無差異的研究，樣本數要很大才有效力。人數少少的兩組，很容易統計出來都是沒有什麼差別。這是真的沒有差別還是只是在玩統計的遊戲？
老實說，高端乖乖把三期臨床試驗做完，要怎樣都理直氣壯。今天高端三期都沒有做，你要做什麼都沒有道理。實情就是這樣簡單，指揮中心再怎麼辯解都沒有用了！
樣本數少統計 在 [心得] 影響A/B Test 所需樣本數的要素- 看板DataScience 的推薦與評價
[關鍵字]: A/B Testing
[重點摘要]:
- 幹嘛管 A/B Test 的樣本數？樣本數太少會怎麼樣嗎？
- 實驗檢定力會不足、測不出有用的結果
- A/B Test 的樣本數不是越多越好嗎？太多又可能有什麼問題？
- 經常看見顯著、但是效果小到沒有幫助
- 多蒐集樣本在商業上也是一種成本
- 是什麼因素影響 A/B Test 所需樣本數？
- 樣本標準差、Minimum Detectable Effect、還有型一、型二錯誤
A/B Test 是個看似簡單，實際上充滿統計學學問的領域
一個小動作做錯、也可能鑄成錯誤決策
「樣本數怎麼算」就是做 A/B Test 的產品設計者、行銷專家
還有資料科學家們永遠都在問的萬年問題
如果沒有在實驗前想清楚這個問題
很有可能讓你的產品團隊精心準備的實驗成為浪費時間
以下我將和大家分享三個議題：
＊為什麼要計較 A/B Test 的樣本數？
＊是哪些要素影響 A/B Test 所需樣本數？
＊所需樣本數可以用什麼公式計算？
更完整的數學公式加上 Python 程式碼圖文介紹
歡迎參考我的網誌文章：
https://haosquare.com/calculate-ab-testing-sample-size/
## 為什麼要計較 A/B Test 的樣本數？
我們先稍微聊聊究竟資料分析為什麼要這麼在意 A/B Test 的樣本數有多少。難道，不是
只要做好隨機對照實驗（RCT）、在假設檢定看到顯著就能馬上下結論嗎？沒這麼簡單！
當 A/B Test 樣本數過少時，統計檢定力往往會不足，也就是，即使你的產品新設計確實
對使用者有幫助，商業實驗也看不出顯著性。更麻煩的問題是，如果產品每天能蒐集的樣
本很少，我們常會急切地天天盯著 A/B Test 結果看，如果看到資料反映出統計檢定顯著
，馬上下結論、結束實驗，這種在樣本數不足下「偷看」的動作會造成持續監控問題，其
中的抽樣偏誤會使得實驗的統計錯誤大大提高！此「偷看」問題我過去曾在本板分享過，
如果你有興趣，歡迎參考之前的文來複習：#1VGG3_Pu
而當 A/B Test 樣本數過多也不全然是好事情，不是資料越多就一定越好。首先，對某些
使用者流量還不太高的產品而言，每個樣本都超珍貴、多蒐集幾個樣本可能要花不少時間
。如果你蒐集了比你實際上需要還多很多的樣本，就會多浪費好幾天蒐集樣本、還對實驗
沒什麼貢獻。而且別忘了，A/B Test 會讓你的使用者看到跟平常不一樣的產品，這個不一
樣或許是暫時的、未來或許會變回原狀（因為你的實驗有可能告訴你使用者其實不青睞新
設計），因此我們當然希望因為 A/B Test 而看到這個「不一樣」的使用者樣本越少越好
，我們不會想讓太多人看到我們反反覆覆修改著產品設計的過程。
此外，當樣本數超級大的時候，通常 P 值（P-value）都會很小，換言之，只要你的樣本
數超多，幾乎都能看到統計顯著、拒絕虛無假設
但樣本數過多的統計顯著往往只伴隨著很小很小的效果
會是「不實用」的統計顯著。
（Statistically significant, but not practically significant）
舉例而言，假設有藥廠發明了一種藥，可以讓身高增加 0.2 公分，他們找了超大一群樣本
、也真的在實驗看出統計顯著性，但你會為了想長高 0.2 公分冒險吃這種藥嗎？這就是統
計顯著不太「實用」（Practical Significance）的意思。如果你還想知道樣本數過大還
會造成哪些其他 P-value 問題，推薦你細細品嚐以下這篇 Too big to fail 論文：
https://reurl.cc/XERbqg
總之，想要為產品高效率執行 A/B Test，我們要找個剛剛好的樣本數
不能太低、也不適合太高
## 決定所需樣本數的四大要素
### 1. 樣本標準差
> 樣本標準差越大、A/B Test 需要的樣本數越多
樣本標準差（Standard Deviation）衡量樣本內數值的離散程度，樣本內的數值如果很發
散，我們會更難結論兩組數據間的差異。直接舉個例子來想像，假設已經知道Ａ地區的平
均身高是 165 公分：
* 如果你在Ｂ地區抽樣出 5 個人：158、163、170、172、177 公分
* 即使樣本平均是 168 公分，但是數據很發散（樣本標準差很大）
* 讓你不敢斷言「Ｂ地區平均身高高於Ａ地區」，或許還要 30 個樣本以上才能下結論
* 如果你在Ｃ地區抽樣出 5 個人：166、166、167、168、169 公分
* 雖然平均數只比Ａ地區高 2 公分，但是每筆數據都很接近 167 公分、資料相當集中
（樣本標準差很小）
* 你可能會在心中想著：只要再抽樣 3 個人、他們身高也同樣接近 167 公分的話，你
或許已經願意相信「Ｂ地區平均身高高於Ａ地區」
樣本標準差的影響亦可以用鐘型曲線來視覺化。統計學常會對估計值畫出鐘型曲線來呈現
其分佈，A/B Test 兩組的樣本平均數分佈可以各自畫出鐘型曲線，很概略地說，（見下圖
）兩個鐘型曲線只要重疊的部分很少、就會有統計顯著。所以，樣本標準差對決定樣本數
的影響可以這樣思考：
* 鐘型曲線越「瘦高」，越不容易重疊（越容易統計顯著）
* A/B Test 樣本數越多，標準誤會越小、鐘型曲線會越瘦高
* 而當樣本標準差越小，標準誤也會越小
* 那就表示樣本標準差很小的時候，樣本數可以不用那麼多，鐘型曲線也能保持同樣瘦高
、同樣容易呈現統計顯著
* 「容易呈現統計顯著」的程度就是統計學家口中的檢定力（Statistical Power）
### 2. Minimum Detectable Effect (MDE)
> MDE 越大、A/B Test 需要的樣本數越少
Minimum Detectable Effect（MDE）是期望最小的指標效果差異，它是主觀設定的，它可
能取自於你的產品設計理念，例如幫 APP 某個按鈕換造型預計提升 10% 點擊率；也可能
來自於商業策略問題，例如這個 APP 按鈕的點擊率如果無法成長 10%，那將會不符成本、
不值得改變產品。
決定樣本數的時候就把 MDE 考慮進去，將會解決剛剛提到的「不實用」統計顯著問題，因
為你事先設定好你的數據至少要看到多大差異才算是實用，只要你使用剛剛好的樣本數來
做商業實驗，最後如果看到實驗呈現出統計顯著，其效果肯定不小於 MDE、必然是「實用
」的統計顯著（Practical Significance）。
Practical Significance 參考說明：
https://online.stat.psu.edu/stat200/book/export/html/119
在此囉唆提醒，MDE 是在 A/B Test 開始之前就（主觀）決定好的，MDE 不是指實際實驗
數據的兩組平均數差異（因為實驗還沒開始做、不知道實際差異）。
當你設定的 MDE 越小，實驗需要的樣本數越高；反之，MDE 越大，需要樣本數越少。就用
上個小節的「長高藥」來舉例吧，假設已知控制組的平均身高是 165 公分：
* 如果實驗者設定 MDE 為 1 公分
你陸續蒐集了幾個樣本分別是 166 公分、164 公分、172 公分
* 實驗組平均雖然比控制組高了 2 公分，你可能還是會心想：「不能結論長高藥有效！
或許有抽樣偏誤存在，是運氣好抽到一位特別高的樣本才有這種結果」
* 還要多蒐集很多樣本才敢結論到底有沒有長高效果
* 如果實驗者設定 MDE 為 20 公分
而你目前蒐集到幾個樣本分別是 187 公分、174 公分、189 公分
* 實驗組平均只比控制組高了 18 公分、不到 MDE 設定的 20 公分
* 但光是實驗組蒐集這少少 3 個樣本相對於控制組都有很大的效果
你是否也開始相信這個長高藥好像真的有效了？
此外，MDE 對樣本數的影響也同樣可以用鐘型曲線來想像。
* A/B Test 樣本數越多，標準誤會越小、鐘型曲線會越瘦高
* 而 MDE 越大，對照組的鐘型曲線會越往右邊平移、與另個鐘型曲線的重疊會越少
* 換言之，MDE 越大，樣本數即使少一點、鐘型曲線矮胖一點，也同樣容易出現統計顯著
### 3. 型一與型二錯誤
> 允許的型一與型二錯誤率越高、A/B Test 需要的樣本數越少
統計方法不是完美的，不管你進行假設檢定之後看到顯著或不顯著，都還是有機會讓你造
成錯誤結論。有可能抽樣時恰好運氣不佳，使得你抽到的樣本對於母體不具有代表性、無
法反映出母體的真實特徵，這種出現抽樣偏誤的隨機性會使我們錯誤推論資料。統計學家
將這種 A/B Test 「預期會發生」的錯誤分成兩種：
* 型一錯誤（α 或 Type-1 Error)：
A/B 兩組其實並沒有差異，統計檢定卻因為隨機性判定成有差異（偽陽性錯誤）
* 型二錯誤（β 或 Type-2 Error)：
A/B 兩組確實有差異，統計檢定卻沒有偵測到顯著（偽陰性錯誤）
如同人做的決策不可能完美無缺，統計檢定的型一與型二錯誤也不可能完全消除、但可以
被控制，分析者可以自己決定容許統計方法有多少型一與型二錯誤存在。在資料越多時，
你對估計值的衡量就越精確，（通常）也表示會產生的決策錯誤越少；反過來說，如果你
允許發生的型一與型二錯誤越少，需要的樣本數就會越多。
在此又要囉唆地註記，很多資料科學家會用檢定力（Statistical Power）來描述型二錯誤
，檢定力其實就只是 1-β、與原本的型二錯誤 β 一體兩面，只需要注意樣本數計算的統
計直覺會變成：如果分析者要求 A/B Test 的檢定力（1-β）越高、需要的樣本數也會越
多。
相對於剛剛討論的另外兩個因素（樣本標準差由資料決定、MDE 由產品設計者決定），一
般來說，我們執行 A/B Test 會選擇的型一與型二錯誤率幾乎都是按照統計學的慣例、不
太會更動：
* 型一錯誤設定為 α = 0.05
* α 也被稱為顯著水準（Significance Level）
* 這也是為什麼我們常常看到 95% 信賴區間
* 型二錯誤設定為 β = 0.2
* 也就是檢定力 = 1-β = 80%
## 究竟樣本數計算公式是什麼？
進行 A/B Test 的正確做法是預先決定實驗樣本數、並且禁止在蒐集到這個樣本數之前偷
看。那麼實驗樣本數究竟是怎麼算出來的呢？以下是計算方法的「經驗法則」：
n = 16 * sigma^2 / delta^2
經驗法則的意思是，此公式已經經過不少簡化, 並且計算內容已蘊含了上述的四大要素
更重要的是, 我們使用時要注意其包含了幾項假設：
* 實驗的 A 與 B 兩組樣本數大小相同
* n 是 A 與 B 其中一組的樣本數至少要是多少（注意 n 不是 A 與 B 的樣本數總和）
* 型一與型二錯誤依照慣例設定 α = 0.05 與 β = 0.2
* 假設實驗的 A 與 B 兩組樣本變異數相同（樣本標準差相同）
（如果你的實驗要改變以上假設, 就不能再用此經驗法則、要去找更完整的數學公式）
這個簡化後的經驗法則公式不限於資料型態，不管你的 A/B Test 目標是連續型資料還是
比例資料都能適用。我們可以用 Python 程式跑些模擬來驗證我們算出來樣本數的正確性
對模擬流程有興趣的話，請參考我放在 GitHub 的 Python Notebook：
https://reurl.cc/y7vaaE
此外，這個簡短的樣本數計算公式還可以用效果量的觀點來理解
統計學課本所說的 效果量（Effect Size）是衡量兩個變數之間關係的強度，我自己則更
喜歡把效果量想成考慮資料離散程度（變異數）後的效果大小相對值，又或者，效果量可
以想成是為效果標準化、以統一尺度來衡量效果。
在 A/B Test 情境，效果量經常使用 Cohen’s d 來計算。而上面這個公式，可以用
Cohen's d 來改寫（以下 Cohen's d 以 ES 表示）：
n = 16 * sigma^2 / delta^2 = 16 / ES^2
where ES = delta / sigma
由此改寫後的公式來看，A/B Test 樣本數取決於標準化後的效果大小
換言之，樣本數是 Cohen’s d 的函數。
依此能看出把樣本數轉換成 Cohen’s d 的函數來理解的好處：
幫我們一眼看出「樣本數取決於效果大小」的統計直覺
## 小結
如果你在網路上用英文關鍵字搜尋過「Sample Size」
很可能看過 Evan Miller 設計的熱門 A/B Test 樣本數計算機
https://www.evanmiller.org/ab-testing/sample-size.html
網頁提到他用的正是 n = 16 * sigma^2 / delta^2 這個經驗法則公式
而網站中對公式說明不多、也無法一眼看出用到了哪些假設
希望這篇文章能幫助各位板友
更清楚理解網路上搜尋到的各種 A/B Test 樣本數計算機究竟算了什麼
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.225.5.200 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/DataScience/M.1687878735.A.FB3.html
※ 編輯: AgileSeptor (36.225.15.165 臺灣), 06/28/2023 11:29:09
... <看更多>