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以極限計算自然底數e 考慮對數f(x) = ln x，其微分f (x) = 1/x，因此f (1) = 1 。我們想利用這個數值來計算自然底數e 。 從標準指數函數定義自然對數. ... <看更多>
(e^x\) exp 緣起複利公式一年後的本利和= \((1+\frac{年利率}{期 ... 則一年後的利息為e=limn→∞(1+1n)n 元 ... 亦為「歐拉對自然對數的定義」 ... ... <看更多>
是說為什麼「自然對數」很「自然」呢？ ... 這裡用到歐拉常數e 的定義，ε→0 則[(1+ε)^(1/ε)] → e ... 以下log 是常用對數，ln 是自然對數。 ... <看更多>
作为數學常數，是自然對數函數的底數，亦称自然常数、自然底数，或是歐拉數（Euler's number），以瑞士數學家歐拉命名；還有個較少見的名字納皮爾常數，用來紀念蘇格蘭 ...
#2. 自然底數e 的定義(上) - 昌小澤的秘密基地- 痞客邦
上周和S 閒聊時無意間聊到自然底數e (又稱尤拉常數) 就我們從高中第一次接觸到他一直到念了大學大致上看到的定義有下面三種: 1. 定義下面數列的極限值 ...
#3. [有趣數學系列] 甚麼是e？. e… | by Godfrey Leung - Medium
好啦，說回數學，e這個數其實甚為特別，與其他數學「字母」π或黃金比例φ (golden ratio)不同，它本身定義上是與幾何形狀無關。e定義上是和變化率(rate of change)有關， ...
#4. E-2 e 的性質
Precalculus，專題二指數函數與對數函數，Cheng-Fang Su. E-2-1. E-2 e 的性質 ... 那麼，到底什麼是e？e的值又是怎麼制定出來. 的呢？ 定義. 1 lim(1. )x x e.
#5. 自然對數漫談
以10為底的常用對數就是基於人們對數. 字的乘除、 乘方和開方等運算要求快速而發. 展起來的。 自然對數則是由於微積分學的產. 生可以解決變量之間的函數關係而發展起來.
#6. 自然常數_百度百科
自然常數，符號e,為數學中一個常數，是一個無限不循環小數，且為超越數，其值約為2.718281828459045。它是自然對數函數的底數。有時稱它為歐拉數（Euler number）， ...
一般而言，對於a > 0 ，我們都可以定義以a 為底數的指數 ... 指數函數常見於自然或者人類社會裡的數學模型之中。 ... 我們定義這個指數函數的底數為e 。
數學中的自然對數e，作為數學常數，是自然對數函數的底數，它就像圓周率π和虛數單位i一樣，是數學中最重要的常數之一。為什麼要有特地定義這樣一個自然 ...
我們先定義對數函數則自然對數ln x 的底數, 我們就定義為e. 即3. 定義指數函數其中0! = 1. 則x = 1 代入可以得到自然對數e是「增長的極限」。這裡用複利的觀念解釋： ...
#10. Math.E 欄位(System) - Microsoft Learn
代表自然對數底數，由常數e 指定。 ... 定義; 範例; 備註; 適用於. 代表自然對數底數，由常數 e 指定。 ... 下列範例會E 與從power series 計算所得的值進行比較。
#11. 自然常數「e」，它到底「自然」在哪兒？ - VITO雜誌
這個式子的意思是，當n的數值越來越大，要多大有多大，最後變得無限大的時候，(1+1/n)^n的數值將會越來越接近於一個數，這個數就是自然常數——e。 e的「 ...
#12. 数学常数e的含义- 阮一峰的网络日志
"自然对数是以e为底的对数函数，e是一个无理数，约等于2.718281828。" 这就构成了循环定义，完全没有说e是什么。数学家选择这样一个无理数作为底数，还 ...
#13. 歐拉數| e常數（e = 2.71828183 ...） - RT
常數. 常數或歐拉數是一個數學常數。e常數是實數和無理數。 e = 2.718281828459 ... e的定義; e的性質. e的倒數; e的導數; e的積分. 基本對數; 指數函數; 歐拉公式 ...
#14. 計算自然對數的底數(e) - 天空之島
+\cdots 當作定義，求e 的近似值。 //定義euler_number 函數，輸入的參數precision //若求和的各項比procision 還小即捨棄。
#15. 自然對數 - 中文百科全書
自然對數 歷史,概念,函式類型,對數函式,反函式,e與π的哲學意義,複數的對數, ... 大約1730年，歐拉定義互為逆函式的指數函式和自然對數. e在科學技術中用得非常多，一般 ...
#16. 自然對數e - 數學與程式之基礎 - GitBook
定義 e 爲下列極限值：. 可用程式計算. n趨近極大值. function a (n){return (1+1/n) ** n }. . // a(9000000000). // 2.718282053219686. 以及. n趨近極小值.
#17. 尤拉數的應用作者： 私立高英高級工商職業學校。李芳俞老師
他還介紹了三角函數現代符號，為自然. 對數的底（現在也稱為尤拉數已知），對求和希臘字母Σ和字母i 字母E. 來表示虛數單位。尤拉將虛數的冪定義為如下公. 這就是尤.
#18. 數字e：它是什麼，它的特點和歷史| 網絡氣象
在數學中，我們可以將數e 定義為自然指數函數的底， 有時稱為neper 基礎，因為neper 數學家是第一個使用它的人。 這個數被稱為無理數，因為它不能表示為兩個整數的比， ...
#19. 1.由連續複利看e的產生| 數學 - 均一教育平台
影片：1.由連續複利看 e 的產生，數學> 高中> 十一年級> 108課綱【十一上A類】二、指 對數 函數。源自於：均一教育平台- 願每個孩子都成為終身學習者，成就自己的未來。
#20. e[數學的超越數]:自然常數 - 中文百科知識
e ，作為數學常數，是自然對數函式的底數。有時稱它為歐拉數（Euler number），以瑞士數學家歐拉命名；也有個較鮮見的名字納皮爾常數，以紀念蘇格蘭數學家約翰·納 ...
#21. 自己的推導筆記- 複數指數、歐拉公式和常數e - 巴哈姆特
先看一般的指數函數微分的結果，以微分定義計算會是 ... ln是Natural Logarithm的簡寫，叫作自然對數，是e為底數的對數，和一般的log一樣，它是 的反 ...
#22. PART 7：自然對數(03:06)
自然指數函數{e^x} 的反函數f(x) = {\log _e}x 稱為自然對數函數，簡寫為f(x) = \ln x ，讀Natural log。 定理 若f(x) = \ln x ，則f'(x) = \frac{1}{x}
#23. e爲什麼叫自然對數? - 人人焦點
高中數學裡講過，以e爲底的對數稱爲「自然對數」（natural logarithm）。我當時學到這裡的時候曾經困惑過：這東西爲什麼叫自然對數？
#24. 自然對數的底數e - 臺北市教育e週報
... 數。e^x是唯一的函數（零多項式函數除外）與自身導數相等，在各領域廣泛的被應用。本教材介紹e的定義、性質與應用，適合已學過微積分的學生觀賞。
#25. 數學裡的e 為什麼叫做自然底數？是不是自然界里什麼東西恰好 ...
以e為底的對數稱為自然對數（Natural logarithm），數學中使用自然（Natural）這個詞的還有自然數（Natural number）。這裡的「自然」並不是現代人所習慣的「大自然」，而 ...
#26. 無理數e：e在數學中是代表一個數的符號 - 華人百科
e 的定義. e是自然對數的底數，是一個無限不迴圈小數，其值是2.71828...，它是這樣定義的: 當n→∞時，(1+1/n)^n的極限. 註:x^y表示x的y次方。
#27. 為什麼自然對數這麼重要？ - 冬季的黎明 - Udn 部落格
基本上只要和微積分沾的上關係的，電子、化工、乃至於純數學，一定看的見這兩個符號：【e】【ln】，從高中開始看見這個符號，沒有一個老師能回答我 ...
#28. Chapter 4 指數函數與對數函數
(e) 若 a > 1，則f(x) 為遞增函數， ， ，其圖形如左圖所示。 ... 定義4-7: y = loge x 稱為自然對數函數，通常表示成y = ln x，即y = ln x 若且唯若ey = x 。 求對數.
#29. 自然對數 - NiNa.Az
自然對數 自然对数英語Natural logarithm 為以数学常数e為底數的对数函数標記作ln x ... 大約1730年，歐拉定義互為逆函數的指數函數和自然對數為：. e ...
#30. 自然對數定義 - Cymath
e y = x {e}^{y}=x ey=x if and only if ln x = y \ln{x}=y lnx=y. 例子. e 4 x = 3 {e}^{4x}=3 e4x=3. 1. 使用自然對數定義: e y = x {e}^{y}=x ey=x if and only ...
#31. 第二章
很顯然的，指數函數的定義域為，值域則為，且函數的圖形通過這點(想想看，為什麼？)。 ... 而以e為底的對數稱為自然對數(natural logarithm)，則習慣上寫成。很明顯的.
#32. 人们专门弄了一个自然对数函数的底数e，是为什么？ - 知乎
但为啥一个无理数却被人们称之为“自然常数”？ ... 有些答案会直接将e 定义成如下公式 ... 我知道这个定义是对的，也知道经过这个定义，可以推导出其它神奇的结论。
#33. 自然對數的底「e」到底是怎麼來的？ - 壹讀
小時候，我曾經問過許多人，但是都沒有給出讓我心裡踏實的回答。教科書上給出的是e的極限形式的定義，，可是這並沒有解決「它是怎麼來的」這個問題，各種 ...
#34. 微積分(Calculus)_自然指數函數的導數(Derivatives ... - Lingualeo
... 我們將會介紹自然指數的微分和積分公式在介紹自然指數函數的運算之前我們先來回顧它的定義自然指數exp (x)，亦即e^x 就定義為自然對數的反函數也就是指若它在變數x ...
#35. 學習單位學習重點時間基礎知識領域5. e 的簡介5.1 認識e 和 ...
5. e 的簡介. 5.1 認識e 和自然對數的定義及其記法. 1.5. 課程闡釋：. 必修部分的學習單位3 和5，為非基礎課題，其中已討論指數函數、對數. 函數和它們的圖像。
#36. 國軍基礎院校學識知能數學學門指標(空軍航空技術學院版) 目錄
H204 瞭解數e。 H205 瞭解自然指數函數的定義及導數。 H206 瞭解指數律。 H207 瞭解對數函數，指數函數的圖形 ...
#37. 自然對數e計算2023-精選在Instagram/IG照片/Dcard上的焦點 ...
以極限計算自然底數e 考慮對數f(x) = ln x，其微分f (x) = 1/x，因此f (1) = 1 。我們想利用這個數值來計算自然底數e 。 從標準指數函數定義自然對數.
#38. Section 4.1 Exponential function 指數函數
更正式一點的定義為： ... 我們可以定義任何以正數a 為基底的指數函數f(x) = ax (本章之後的的基底都代表正數)。當指. 數函數的 ... 自然對數的底數e】The Number e.
#39. 歐拉數(e (Euler's Number) - Numberphile) - VoiceTube 看影片 ...
... 面積,無限,增長,規律,計算,巧合,微積分,分數,連續,銀行,生物學,重要,定義,興趣,自然,發現,雅各布,展示,服務,證明,函數,除以,代表,幾何,直徑,頂尖, ...
#40. math.h 檔案 - IBM
定義 數學子常式及常數。 ... 除了其他事項之外， math.h 檔案還定義下列巨集，其用作錯誤回覆值: ... M_E, 自然對數底數(E). M_LOG2E, Base-2 對數E.
#41. 從尤拉數e到Stirling 常數
首先,以此數爲底的指數函數e*其導數就是它自己。其次,這個. 數有多種不同的定義方法或表示法:我們可以定義e爲無窮級數 ... 然而,當我們引進自然對數,則全然改觀。請看:.
#42. 指數函數和對數函數
指數函數和對數函數. ... 但若x 為無理數, 我們還沒給a x 下過定義, 為此我們須使用上文索引入的連續函數的 ... 叫做自然對數(natural logarithm), 可以表作 $\ln x$ ...
#43. x - Dreye權威釋義
它的反函數是定義在所有正數 x {\displaystyle x} 上的自然對數 ln x {\displaystyle \ln {x}} 。 本文集中於帶有底數為歐拉數 e ...
#44. P.5-24 第五章指數與對數函數b.
由定義可知，自然指數函數與自然對數函數互為反函數，所以每個對數方程式可寫成指數 ... 因為函數 f (x) ＝ ex 和g(x) ＝ ln x 互為反函數，其圖形互相對稱於直線y ...
#45. Pi、自然對數的基數e - Support | CASIO
按下 (π) 以輸入π。 π 顯示為3.141592654，但是在內部計算式中使用的是π = 3.1415926535897932384626。 自然對數的基數e. 按 ...
#46. Definition of the natural logarithm (自然對數的定義)
幾何上而言，若x>1，則ln(x) 為區域R 的面積；若0<x<1，則- ln(x) 為區域R 的面積。 x x e log ln = ,. 71828 .2. ≅ e.
#47. Calculus - 指對數| WillyWangkaa
(e^x\) exp 緣起複利公式一年後的本利和= \((1+\frac{年利率}{期 ... 則一年後的利息為e=limn→∞(1+1n)n 元 ... 亦為「歐拉對自然對數的定義」 ...
#48. 04 指數與對數.pdf
代數學的教科書中，可以發現不管是內容的安排，或是對數定義的講解，. 通常都會置入指數的概念，讓人誤以為指數的 ... 發展出以尤拉數e 為底的自然對數的好處是什麼？
#49. 對數的故事
這以e 為. 底的對數就稱作「自然對數」，成為自然. 科學中常使用、應用廣泛的對數函數。 對數在生活中的應用. 在日常生活中，應用對數解決問題的. 例子不勝枚舉 ...
#50. 自然對數（ln） - 飲水思源
前一個章節我們在理解指數函數；接下來我們的目標是自然對數。 數學中給定的自然對數的定義，其中有著「自然」的一部分：它被定義為ex 的反函數。
#51. 自然對數| 中文数学Wiki | Fandom
自然對數 是指以e為底的對數，x的自然對數常常會記作ln x {\displaystyle \ln x} ... 除了透過e來定義外，自然對數可定義為∫ 1 x 1 t d t {\displaystyle \int ...
#52. 歐拉數(Euler Number) e 是數列{( 1 + 1 n ) } 的極限
定義 作為開始來展開討論，現僅略述其中的一些方向：. 1. 由「自然對數(Natural Logarithm)」開始(如P.M.Fitzpatrick.Advanced Calculus).
#53. 用Python 計算指數和對數 - 自然科學和數學計算學習分享
例如，要計算自然對數log(12)，就是以e 為底數的對數，其中e = 2.71828… ... 在數學上，指數函數f(x) = a x 的定義是a > 0, 且a ≠ 1，而x 是實數。
#54. 6. (20 pts)符號e表示自然對數函數Inc 的底數,考慮定義在[1, e ...
Question: 6. (20 pts)符號e表示自然對數函數Inc 的底數,考慮定義在[1, e」的自然對數數f(x) = Inc,本題是要透過) = 1, El=e,找出Hermite 多項式H(r)。
#55. 尤拉數e在微積分中的角色與用途 - 陳鍾誠的網站
尤拉數e 的定義方式. 尤拉數e 是一個很難掌握的數字，但卻應用很廣，其表現出來的形式大致有下列三種 ...
#56. 自然對數是什麼? - 雅瑪知識
自然對數 到底有什麼意義. 定義. 以常數e為底數的對數叫做自然對數，記作ln N(N>0). 第二定義. 它的含義是單位時間內，持續的翻倍增長所能達到的極限值.
#57. 神奇而瑰麗的自然常數e，一個可以描述宇宙的數字 - 天天要聞
e 的學術發現過程卻是因為大量的計算中遇到了這個以e為底的對數運算，即數學歷史上是先有了對數函數，後定義了指數函數，可以說是當時的數學體系奠定了運算 ...
#58. 科宅導讀－知識娛樂× 問題× 夢囈與詩- #科分享一點點的力量 ...
是說為什麼「自然對數」很「自然」呢？ ... 這裡用到歐拉常數e 的定義，ε→0 則[(1+ε)^(1/ε)] → e ... 以下log 是常用對數，ln 是自然對數。
#59. 三角與指對數函數的導函數
因此定義. 1. 0 lim(1 )t t e t. →. = + 且當對數底數為e時，簡寫loge x為ln x，底下先證明ln x 的導 ... (註：亦可將e 定義為 ... 第三部分：關於自然對數e 的特性.
#60. 自然對數底與素數
自然對數 底(Base of Natural Logarithm) e 是我們數學中一常用的常數(Constant)，和圓周率p 不相伯仲。 對數(Logarithm) 在沒有計算機的時代減少了人們不少計算之苦，但 ...
#61. Re: [問題] 關於自然對數e - 看板Physics
引述《milkcake (光良的星星)》之銘言： : 大家好: 一直以來，不論教科書或paper都很直接的在計算式上引入自然對數e : 有稍微查過，不過看到的解答只 ...
#62. 函數
僅限純量，例如平方根與對數. ◦ 僅限向量，例如點積與叉積 ... e 的自然對數函數 ... display.varname - 定義使用者變數，例如3D 繪圖的輪廓、等值曲面和向量。
#63. 提要326:複數之自然對數
ir z. ；依此類推發現， z 雖是同一個， z ln 卻有許多個，故z ln 為多值函. 數。因z ln 為多值函數，故需定義其主值（Principal Value）， z ln 之主值係表為.
#64. Chapter 7 Integrals and Transcendental Functions (積分與 ...
(以積分形式定義的對數函數) ... Def (自然對數函數的正式定義) ... 數e 的定義). Euler's number e ≈ 2.71828··· is an irrational number satisfying ln(e) = ∫ e.
#65. 自然數- 翰林雲端學院
同稱：「自然數」、「正整數」。 正數中不具分數或小數點的數。 例如：1、2、3......等。 ... icon. 至頂部. e家教 客服. 國中數學- 自然數. 同稱：「自然數」、「正 ...
#66. 自然常數e為什麼這麼重要? - 今天頭條
簡單總結一下就是，人們在生活中經常遇到一個量的變化與自身大小相關的問題，為求解這類問題必須引入關於e的指數函數與對數函數，並定義e=lim(1+1/x)x (x ...
#67. [有趣數學系列] 究竟乜嘢係e？(What is e?) | 論盡物理宇宙
歐拉常數e係同極限和無限有關，數學上定義係下面公式後嚟數學家歐拉做咗唔少 ... 對數(logarithm) 嘅數學著作入面一個附錄中有個表寫咗一堆數佢地自然 ...
#68. 2-6 指數、對數函數的微分 - Google Sites
010. 讓我們先回憶瑞士數學家Euler 所發現的神奇常數e (譯為歐拉數或尤拉數,並以其姓之第一字母e命名)。 數字e 可以下列極限所定義: Related: e is a magic number (song ...
#69. 自然對數e是怎麼來的,有什麼用e為什麼等於2.71828？ - 劇多
其值是2.71828……,是這樣定義的：當n->∞時,(1+1/n)^n的極限.注：x^y表示x的y次方. 2 # 使用者1926230836710.
#70. CALCULUS: § 5-2 自然對數函數(natural logarithmic function)
定義 2. 自然對數函數的微分律 d/dx (ln x) = 1/ x 3. 對數律 ... 上圖是由電腦畫出y = ln x 與y = 1 的圖形, 然後用交點的x 座標來估計e 值。
#71. Lebesgue測度
Dirac measure:M = P(R). 固定實數a, 如果a E, 則m (E) = 1;否則m (E) =0. M = P(N), (N為自然數集合).給定非負實數序列{an}. 對M中的元素A定義m (A) = . 測度之性質.
#72. e - 朝陽科技大學
所謂的指數函數，即 (b>0, b≠1)，指數函數的Domain(定義域)是所有實數. 3. 指數的例子 ... EX： 我們平常存款的複利他的成長就具有自然指數的現象，所以e是非常生活化.
#73. e 是什麼鬼東西？ - HackMD
e 起源於對複利率極限的研究 ... 白話點來說e e 是一個極限值，它的本身雖只是個數字，但其特殊的指/對數變化性質，被視為指/對數函數中的1，如同單位般的存在。就像π π 之於 ...
#74. 自然常数e与重要极限原创 - CSDN博客
无理数eee，又称自然常数，是一个人为定义的数，约等于2.71828，我们在很多地方都能看到它的身影，如欧拉方程、自然对数中等等。定义eee的定义式 ...
#75. E 自然對數
20 pts符號e表示自然對數函數Inc 的底數, 考慮定義在1, e的自然對數數fx Inc, 本題是要透過1, Ele, 找出Hermite 多項式Hr a 6 pts 請問Hxr除了自然对数和自然指数函数. 底 ...
#76. 內政部全球資訊網-中文網
新聞發布 · 即時新聞澄清 · 行政公告 · 活動訊息 · 本部徵才 ...
#77. 自然常数e定义的等价性 - BiliBili
自然 常数 e定义 的等价性. 莲花落英. 立即播放. 打开App，看更多精彩视频. 100+个相关视频. 更多. 黑乐谱- 自然 常数- E （271828音符）.
#78. 微積分乙 - 第 30 頁 - Google 圖書結果
於是由幾何直觀,可以斷定極限 limn→∞ en 一定會存在,這就是想要定義的 e. ... 以 e 為底數的對數函數 logex 稱為自然對數函數(naturallogarithmic function).
#79. 微積分 - 第 55 頁 - Google 圖書結果
答□ e 的出現對指數函數 f (x) = ax ,欲求 f ' (x),若從微分定義著手推導會較繁雜,因而此處先定義如下之「自然指數」e:定義自然指數 e ...... (1) □ (1)式是微積分很 ...
#80. Python 3.7 技術手冊(電子書) - 第 5-2 頁 - Google 圖書結果
實際上,Python 就內建有 math 模組,其中除了定義了圓周率 pi、自然對數 e 之外,還有一些常用的數學函式定義,像是三角函數、log()、pow()等。想要知道一個模組中有哪些 ...
#81. Python 3.9技術手冊(電子書) - 第 5-2 頁 - Google 圖書結果
實際上,Python 內建有 math 模組,其中除了定義了圓周率 pi、自然對數 e 之外,還有一些常用的數學函式定義,像是三角函數、log()、pow()等。想知道模組中有哪些名稱, ...
#82. Python 3.5 技術手冊(電子書) - 第 5-2 頁 - Google 圖書結果
實際上,Python 就內建有 math 模組,其中除了定義了圓周率 pi、自然對數 e 之外,還有一些常用的數學函式定義,像是三角函數、log()、pow()等。想要知道一個模組中有哪些 ...
#83. 複變數: - 第 117 頁 - Google 圖書結果
指數函數定義 2 定義 w = e * = e * + iv = e * ( cosy + isiny )為指數函數( ... 為自然對數的底( Base of natural logarithm )。指數函數性質( a ) w = e *在整個複 ...
#84. 免疫智慧資訊處理系統及應用（免疫智能信息處理系統及應用）
對樣本空間的每一個事件 E 定義一個數 P(E),若滿足如下三個條件: (1) 0 ≤ P(E) ≤ 1; ... 其值域(或取值範圍)Ω稱為狀態空間,可以將值域用自然數集合{0,1,2,...}表示。
#85. 高等微積分 - 第 368 頁 - Google 圖書結果
由於這個緣故,我們將 e 定義為 cosy + isiny 更進一步地, ... k 由此可知:當自然指數函數的定義域擴大成複數集 C ,而對任意實數 x 與 y ,將 extiy 定義為 e * ( cosy + ...
#86. 基礎數學 - 第 10 頁 - Google 圖書結果
10 域則是在0到。tan 1y的定義域是整個實數,而值域是在到。 ... 這個以 e 為底的對數是個非重要而且「自然」,所以它被稱為自然對數,而且還特別用ln符號來代表.
#87. 白話微積分 - 第 61 頁 - Google 圖書結果
裡面刻意凑出 e 的定義,外面平衡回來。 ... ( x ) = lim | ( 1 + x ) 11 ) = c ( 1-1 ) = e * → 0 例題 1.6.11 fetulR lim ... 自然指數與自然對數第 1 章極限與連續.
自然對數e定義 在 Re: [問題] 關於自然對數e - 看板Physics 的推薦與評價
※ 引述《milkcake (光良的星星)》之銘言：
: 大家好
: 一直以來，不論教科書或paper都很直接的在計算式上引入自然對數e
: 有稍微查過，不過看到的解答只說因為e是自然界中很常看到的數字
: 我想請問的是 是哪邊常看到?
: 而且為啥是一個奇怪的數字2.72而不是5.3之類的其他數字
: 本來想po在數學板的 可是感覺物裡板會有比較物理的解釋
: 所以上來請教
: 謝謝!
在物理上，只要與 damping，衰變等有關的東西，都與 e 脫離不了關係
當某個物理量的變化率，正比於這個物理量本身，e 就會出現在裡頭
不過，我在這邊想舉的例子，比較不是物理上的
反而是與大家日常生活更相關的一件事：利率
敘述過程中，可以發現這樣的過程套在 damping 與衰變等也是一體適用
有一個很常見的問題，向銀行借款一萬，年利率 5%
若中間不還款，二十年後，須還銀行多少錢？
直接回答，若我們以單利計算，二十年後須還銀行兩萬 (利息等於本金)
(實務上沒什麼人使用單利計算)
若以實務上常用的複利來算，二十年後須還銀行 1.05^20 = 26533
如果我們改以月利率來計算整件事，那月利率該訂多少才等於年利率 5%?
一個速算的方式為，將 5% 除以 12 （0.41667%) 當作月利率 (實務上很多人這麼做)
以單利計算剛好等於年利率 5% (一年後本利和為 10500，二十年後本利和為 20000)
但以複利計算，一年後的本利和為 10512，相當於年利率 5.12%
比原本想要的 5%，多了 2.4% ((5.12 - 5) / 5 = 0.024)
雖然將年利率直接除以 12 作為月利率的估算會有點誤差
但若利率小時，誤差的百分比也會跟著縮小
比如年利率為 1%，除以 12
若以 0.08333% 當作月利率粗估值，則實際的年利率為 1.0046%
與 1% 僅增加 0.46%
回過頭來，若月利率為 0.41667% 計，二十年後該還款多少？
若以單利計算，二十年後與年利率 5% 還款金額一樣是 20000 (利息等於本金)
以複利計算，二十年後，本利和為 27126 (嗯，很好)
若把時間單位切得更碎，以日為計息單位，一年以 365 日計
若日息以 5%/365 = 0.0137% 計，二十年後該還款多少？
若以單利計算，二十年後與年利率 5% 還款金額一樣是 20000 (利息等於本金)
以複利計算，二十年後，本利和為 27181 (嘿，這個數字看起來有點玄機)
更誇張點，以秒計息，每秒利率 5%/365/86400 = 0.00000015855%
二十年後，複利本利和為 27182.818... 沒錯，這個值已經相當接近 10000 x e
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講得更直白一點，若時間單位切得夠碎
經過一個時間周期後，複利的本利和，會逼近於本金的 e 倍
這裡說的一個時間周期，我們定義為，若每期只還清利息不還本金
要耗多久時間，使得前後所還的利息總和等於本金
以上述為例，一個時間單位即為二十年
經過一個時間單位，複利本利和近似於本金的 e 倍
而經過兩個時間單位，複利本利和近似於本金的 e^2 倍
若只經過半個時間單位，複利本利和近似於本金的 e^0.5 倍
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套用到放射性原子衰變，也是類似的方式
若某粒子的衰變率為每秒 1ppm (每秒有百萬分之一的機率衰變)
那一周之後，會剩下原本的 e^-0.6048 = 54.62%
(0.6048 個時間單位，86400 * 7 / 1000000)
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這個特性，在數學上，就是 e = lim (1 + 1/n)^n
n->∞
所謂的計息時間切得愈碎，所對應的就是 1/n 趨近於零
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※ 編輯: mgtsai 來自: 118.168.51.46 (10/18 23:01)
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