【指數函數的微分？高中微積分沒有教的主題】
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a^x 的微分
高中微積分沒有教
但大學必考
且可用來研究人口增長
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a^x 微分得 (a^x)ln(a)
這個結論一定要背!!
特別是考前!!
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【口訣】
⭐ 指數函數微分 ＝ 本身 × ln(底數)
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其中 ln(x) 是以 e 為底的對數函數
就像 log(x) 表以 10 為底的對數函數
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而 “e” 這個數字叫做自然對數
其值約 2.71，是無理數
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關於 “e” 的來源
可以看我頻道影片
👉 導數與微分的概念（補充教材）
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而若以 “e” 為底的指數函數微分的話
就會因 ln(e) ＝ 1 而是微分等於自己
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【公式整合】
1️⃣ 指數函數微分 ＝ 本身 × ln(底數)
2️⃣ e^x 微分 ＝ e^x
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上面這兩個公式超重要
但其實只要背一個
知道是哪個嗎？
留言告訴我唄～
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#數學老師張旭
#張旭微積分
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自然對數e ln 在 Re: [問題] 關於自然對數e - 看板Physics - 批踢踢實業坊 的推薦與評價
※ 引述《milkcake (光良的星星)》之銘言：
: 大家好
: 一直以來，不論教科書或paper都很直接的在計算式上引入自然對數e
: 有稍微查過，不過看到的解答只說因為e是自然界中很常看到的數字
: 我想請問的是 是哪邊常看到?
: 而且為啥是一個奇怪的數字2.72而不是5.3之類的其他數字
: 本來想po在數學板的 可是感覺物裡板會有比較物理的解釋
: 所以上來請教
: 謝謝!
自然界要看到e是有條件的，
教科書或paper應該都會先說明所提及的自然現象，
然後才會說這個現象可以用自然對數描述
因此個人的意見是你或許可以仔細了解一下教科書或paper計算用到自然對數之前的篇章
看一下作者正在討論什麼現象，建立了什麼模型
很多自然現象能用以下方程式描述：
dy/dx = ay，a為常數，y=y(x)
這代表欲討論對象y隨變數x的變化量和自身成正比
是很「直覺簡單」的假設，也「剛好」在許多情況下成立
接著，解方程式，移項得到∫dy/y = a∫dx
右手邊就算了，左手邊怎麼辦？
想法：定義∫dy/y = ln y
ln y 是以「某個數字」為底取y的對數，先寫為e
由於微分是積分的反運算，根據這個定義同樣可以得到：d ln y/dy = 1/y
令y = e^x，則可導出d e^x/dx = e^x
無論如何，上述微分方程式據此可得解：y = e^(ax)
那這個e的確切數字為何？
理所當然，ln e = 1，所以目的就是要湊出這樣一個東西
靈光一現，考慮(1+t)^(1/t)在t->0時的收斂值（同樣靈光一閃假設確實收斂）：
ln e = ln[(1+t)^(1/t)] = (1/t)ln(1+t) = (1/t)(t -t^2/2 + ....) (泰勒展開)
在t->0時有 ln[(1+t)^(1/t)] = 1-t/2 + .... -> 1
於是我們知道e = (1+t)^(1/t)在t->0時的收斂值
用泰勒展開算一算就得到2.71828....這個值
至於為啥能確信這個東西在t->0時收斂（好像是Euler正式證明的）
我數學很差，不要問我
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