關於 費馬小定理證明過程 ，我們在網路上蒐集到這些相關的討論、資訊與評價

覺得內心有鍋要炸😡的時候
大家都做些什麼呀？
我竟然看起 「費馬最後定理」（Fermat’s Last Theorem) 紀錄片
然後就平靜了😊

數學家 安德魯.懷爾斯：「或許我描述數學研究經歷最恰當的比方，就是進入一個黑暗的大宅中。因為，當人進入伸手不見五指的黑暗房間裡，就會跌跌撞撞地碰到傢具，逐漸你會知道每件傢具的位置，而經過六個月的樣子，你最終會找到開關，打開燈。燈光突然照亮了一切，你能夠清楚看到你所在的位置。」

紀錄片描述的，是這位數學家如何證明費馬最後定理的過程。
孩提時代在圖書館看到的費馬大定理，成了他往後30年的人生目標，是他夢寐以求要解決的問題。反覆辯證、集眾數學家們的智慧結晶、推敲演算去解幾百年來的難題。直到他在黑板前說：「我已經證明了它，我想，我可以停下了。」

我敬佩且感動，卻意外消化了原本不舒服的情緒。

我的難題、我迫切要解決的困境，好像都有了方向，期待自己也能說：我已經放下了。

而最初留下難題的數學家費馬在書上寫的：「
關於此，我確信已發現了一種美妙的證法 ，可惜這裡空白的地方太小，寫不下。」也讓我覺得像是上天要考驗我的智慧之語了。

關於費馬定理關於伊娃沙娃理論還有橢圓曲線還有谷山-志村猜想～～～我都好想搞懂，但真的不可能呀。數學家的世界之於我，是哲學世界了❤️❤️

#數學的啟發
#人生就是不斷解題別輕易放棄

【立場轉載】【2020 諾貝爾物理學獎】廣義相對論與宇宙最黑暗秘密

打風落雨留在家，為何不試試學習黑洞的理論呢？😹😹😹

／／諾貝爾獎有三個科學奬項，我們在學校也習慣以「物理、化學、生物」等不同科目去區分不同科學領域。這種分界當然能夠方便我們以不同角度去理解各種自然現象，但大自然其實是不分科目的。科學最有趣的是各種自然現象環環相扣，我們不可能只改變大自然的某一個現象而不影響其他。就好像蝴蝶效應，牽一髮而動全身。

廣義相對論間接推論暗物質存在的必要

廣義相對論是目前最先進的重力理論，它能夠解釋迄今為止所有實驗和觀測數據。然而，天文學家發現銀河系的轉速和可觀測宇宙的物質分佈，都顯示需要比觀測到的物質更加多的質量。這是物理學的其中一個未解之謎，有時會被稱為「消失的質量」問題。那些「應該在而卻看不到」的物質，就叫做暗物質 (dark matter) 。

有些物理學家猜測，會否根本沒有暗物質，而是廣義相對論需要被修改呢？他們研究「修正重力 (modified gravity) 」理論，希望藉由修正廣義相對論去解釋這些觀察結果，無需引入暗物質這個額外假設。可是從來沒有修正重力理論能媲美廣義相對論，完美地描述宇宙一切大尺度現象。

天文學研究向來難以得到諾貝爾獎，因為天文發現往往缺乏短期實際應用。然而過去十年之間，有關天文發現的研究卻得到了五個諾貝爾物理學獎。換言之，過去幾十年間改變人類對宇宙的基本認知的，有一半是來自於天文現象。其中有關廣義相對論的包括 2017 年的重力波觀測、 2019 年的宇宙學研究，以及 2020 年的黑洞研究。

不過很少人提及這三個關於廣義相對論的發現其實同時令暗物質的存在更加可信。因為這些發現測量得越精確，就代表廣義相對論的錯誤空間更小。換句話說，物理學家越來越難以靠修正重力去解釋「消失的質量」問題，所以暗物質的存在就越來越有其必要了。

換句話說，如果證明黑洞存在，其對科學的影響並不單止是為愛因斯坦的功績錦上添花，而是能夠加深人類對構成宇宙的物質的理解。

描述四維時空的圖

談黑洞之前，我們首先要理解一下，物理學家是如何研究時空的。研究時空的一種方法，就是利用所謂的時空圖 (spacetime diagram) 。一般描述幾何空間的圖，在直軸和橫軸分別表示長和闊，形成一個二維平面。有時更可按需要加多一條垂直於平面的軸，代表高度。長、闊、高，構成三維空間。但如果要再加上時間呢？那麼就再在垂直於長、闊、高的第四個方向畫一條軸吧。咦？

怎麼了，找不到第四個方向嗎？這是當然的，因為我們都是被囚禁在三維空間之中的生物。如果有生活在四維空間裡的生物，牠們會覺得我們很愚蠢，問我們：「為什麼不『抬頭』？第四個方向不就在這邊嗎？」就像我們看著平面國的居民一樣，在二維生物眼中，牠們的世界只有前後左右，沒有上下。到訪平面國的我們也會問：「為什麼不『抬頭』？第三個方向不就在這邊嗎？」但牠們無論如何也做不到。

宇宙是三維空間，另外加上時間。如果要加上時間軸這個「第四維」的話，我們就必須犧牲空間維度。物理學家使用的時空圖就是個三維空間，直軸代表時間（時間軸）、兩條水平的橫軸代表空間（空間軸）。當然，把本來的三維空間放在二維的平面上，我們需要一些想像力。在時空圖上，每個點都代表在某時某地發生的一件事件 (event) ，因此我們可以利用時空圖看出事件之間因果關係。一個人在時空中活動的軌跡，在時空圖上稱為世界線 (world line) 。

由於時間軸是垂直的，並且從時空圖的「下」向「上」流動。一個站在原地位置不變的人的世界線會是平行時間軸的直線。由於光線永遠以光速前進，光線的世界線會是一條斜線。而只要適當地選擇時間軸和空間軸的單位，光線的世界線就會是 45 度的斜線。因為沒有東西能跑得比光快，一個人未來可以發生的事件永遠被限制在「上」的那個由無數條 45 度的斜線構成的圓錐體之間，而從前發生可以影響現在的所有事件則永遠在「下」的圓錐體之間。這兩個「上」和「下」的圓錐體內的區域稱為那個人當刻的光錐 (light cone) ，而物理學家則習慣以「未來光錐 (future light cone) 」和「過去光錐 (past light cone) 」分別表示之。

所有東西的世界線都必定被位於未來和過去光錐之內。在沒有加速度的情況下，所有世界線都會是直線。如果涉及加速，世界線就會是曲線。而廣義相對論的核心概念，就是重力與加速度相等，兩者是同一種東西。因此我們就知道如果在時空圖上放一個質量很大的東西，例如黑洞，那麼附近的世界線就會被扭曲。不單是物質所經歷的事件，連時空也會被重力場扭曲，因此時空圖上的格網線和光錐都會被扭曲往黑洞的方向。換句話說，越接近黑洞，你的越大部分光錐就會指向黑洞內部。因為你的世界線必須在光錐之內，你會剩下越來越小的可能逃離黑洞的吸引。

2020 年的諾貝爾物理學獎一半頒給了彭羅斯 (Roger Penrose) ，以表揚他「發現黑洞形成是廣義相對論的嚴謹預測」。在彭羅斯之前的研究，大都對黑洞的特性作出了一些假設，例如球狀對稱。這是因為以往未有電腦能讓物理學家模擬黑洞，只能用人手推導方程。但廣義相對論是非線性偏微分方程，就算不是完全沒有可能也是極端難解開的，所以物理學家只能靠引入對稱和其他假設去簡化方程。因此許多廣義相對論的解都是帶有對稱假設的。這就使包括愛因斯坦在內的許多物理學家就疑惑，會不會是因為額外加入的對稱假設才使黑洞出現？在現實中並沒有完美的對稱，會不會就防止了黑洞的出現？

黑洞只是數學上的副產品嗎？

彭羅斯發現普通的高等數學並不足以解開廣義相對論的方程，因此他就轉向拓撲學 (topology) ，而且必須自己發明新的數學方法。拓撲學是數學其中一個比較抽象的分支，簡單來說就是研究各種形狀的特性的學問。 1963 年，他利用一種叫做共形變換或保角變換 (conformal transformation) 的技巧，把原本無限大的時空圖（因為空間和時間都是無限延伸的）化約成一幅有限大小的時空圖，稱為彭羅斯圖 (Penrose diagram) 。

彭羅斯圖的好處除了是把無限縮為有限，還有另一個更重要的原因：故名思義，經過保角變換後的角度都不會改變。其實在日常生活中，我們經常都會把圖變換為另一種表達方式，例如世界地圖。由於地球表面是彎曲的，如果要把地圖畫在平面的紙上，就必須利用類似的數學變換。例如我們常見的長方形或橢圓形世界地圖，就是利用不同的變換從球面變換成平面。有些變換並不會保持角度不變，例如在飛機裡看到的那種世界地圖，在球面上的「直線」會變成了平面上的「曲線」。

扯遠了。回來談彭羅斯圖，為什麼他想要保持角度不變？因為這樣的話，光錐的方向就會永遠不變，我們可以直接看出被重力影響的事件的過去與未來。彭羅斯也用數學證明，即使缺乏對稱性，黑洞也的確會形成。他更發現在黑洞裡，一個有著無限密度的點——奇點 (singularity) ——必然會形成。這其實就是彭羅斯-霍金奇點定理 (Penrose-Hawking singularity theorem) ，如果霍金仍然在世，他亦應該會共同獲得 2020 年諾貝爾物理學獎。

在奇點處，所有已知物理學定律都會崩潰。因此，很多物理學家都認為奇點是不可能存在宇宙中的，但彭羅斯的計算卻表明奇點不但可以存在，而且還必定存在，只是在黑洞的內部罷了。如果黑洞會旋轉的話（絕大部分都會），裡面存在的更不會是奇點，而是一個圈——奇異圈 (singularity ring) 。

黑洞的表面拯救了懼怕奇點的物理學家。黑洞的表面稱為事件視界 (event horizon) ，在事件視界之內，你必須跑得比光線更快才能回到事件視界之外。因此沒有任何物質能夠回到黑洞外面，所以黑洞裡面發生什麼事，我們都無從得知。就是這個原因給予了科幻電影如《星際啟示錄 (Interstellar) 》創作的空間——在黑洞裡面，編劇、導演和演員都可以天馬行空。只要奇點永遠被事件視界包圍，大部分科學家就無需費心去擔心物理學可能會分崩離析了。甚至有些科學家主張，研究黑洞的內部並不是科學。

雖然如此，卻沒有阻礙彭羅斯、霍金等當代理論天體物理學家，利用與當年愛因斯坦所用一樣的工具——紙和筆——去研究黑裡面發生的事情。雖然或許我們永遠無法證實，但他們的研究結果絕非無中生有，而是根據當代已知物理定律的猜測，即英文中所謂 educated guess 。利用彭羅斯圖，我們發現不單奇點必定存在，而且在黑洞裡面，時間和空間會互相角色。

但這是什麼意思？數學上，時間和空間好像沒有分別，但在物理上兩者分別明顯：在空間中我們可以自由穿梭，但在時間裡我們卻只能順流前進。彭羅斯發現，帶領掉入黑洞的可憐蟲撞上奇點的並非空間，而是時間，因此我們也說奇點是時間的終點。亦因為在黑洞裡面掉落的方向是時間，向後回頭是不可能的，所以一旦落入黑洞，就只能走向時空的終結。

看見黑洞旁的恆星亂舞

另一半諾貝爾獎由 Reinhard Genzel 和 Andreas Ghez 平分，以表揚他們「發現銀河系中心的超大質量緻密天體」。銀河系中心的確有一個超大質量的物體，而且每個星系中心都有一個。這些質量極大的物體，就是所謂的超大質量黑洞 (supermassive blackholes) 。

上世紀 50 年代開始，天文學家陸續發現了許多會釋放出無線電輻射的天體，稱為類星體 (quasars) 。之後其中一個類星體 3C273 被觀測確認是銀河系外的星系中心。根據計算， 3C273 釋放出的無線電能量是銀河系中所有恆星的 100 倍。起初，天文學家認為這些能夠釋放巨大能量的類星體，必然是些比太陽重百萬倍的恆星。但是理論計算結果卻表明，這麼重的恆星會是極不穩定的，而且壽命會非常短，因此類星體不可能是恆星。

為什麼這些類星體不可能是恆星？因為恆星的發光度是有極限的，而且正比於恆星的質量。這個極限稱為愛丁頓極限 (Eddington limit) 。如果恆星的發光度超出愛丁頓極限，光壓（radiation pressure ，即光子對物質所施的壓力）就會超過恆星自身的重力，恆星就會變得不穩定。因此，天文學家逐漸改而相信類星體是位於星系中心的超大質量黑洞。這也令類星體多了一個名字：活躍星系核（active galactic nucleus）。

每個黑洞旁邊都有一個最內穩定圓形軌道 (innermost stable circular orbit) ，依據黑洞會否旋轉而定，大概是黑洞半徑的 3–4.5 倍。比最內穩定圓形軌道更接近黑洞的範圍，環繞黑洞運行的物質都會因不穩定的軌道而墜落黑洞之中，並在墜落的過程中釋放出 6–42% 的能量，因此可以解釋活躍星系核的強大發光度。

另一方面，彭羅斯在 1969 年亦發現一個旋轉的黑洞能夠把能量轉給物質，並且把物質拋出去，這個過程稱為彭羅斯過程 (Penrose process) 。換言之，從黑洞「偷取」能量是有可能的。科學家估計，科技非常先進的外星文明有可能居住於黑洞附近，並利用彭羅斯過程從黑洞提取免費的能源。這個過程亦進一步支持超大質量黑洞能夠釋放巨大能量的理論。

由於 E=mc2 ，能量即是質量，因此被偷取能量的黑洞的質量就會減少。霍金在 1972 年發現一個不會旋轉的黑洞的表面積不可能減少。黑洞質量越大，其表面積就越大，因此不會旋轉的黑洞不會有彭羅斯過程。他亦發現，如果是個會旋轉的黑洞，其表面積是有可能減少的。因此霍金的結論支持了彭羅斯的理論。

Genzel 和 Ghez 兩人的研究團隊已經分別利用位於智利的歐洲南方天文台 (European Southern Observatory) 的望遠鏡和位於夏威夷的凱克望遠鏡 (Keck Telescope) 監察了距離地球約 25,000 光年的銀河系中心區域將近 30 年之久。他們發現有很多移動速度非常快的恆星，正在環繞一個不發光的物體轉動。這個不發光的物體被稱為人馬座 A* (Sagittarius A*, 縮寫為 Sgr A*) 。 Sgr A* 會放出強大的無線電波，這點與活躍星系核的情況相似。

他們不單確認了這些恆星的公轉速率與 Sgr A* 的距離的開方成反比， Genzel 的團隊更成功追蹤了一顆記號為 S2 的恆星的完整軌跡。這兩個結果都表明， Sgr A* 必然是一個非常細小但質量達 400 萬倍太陽質量的緻密天體。這樣極端的天體只有一種可能性：超大質量黑洞。

霍金輻射　黑洞的未解之謎

諾貝爾物理學委員會在解釋科學背景的文件中亦特別提及霍金的黑洞蒸發理論以及霍金輻射 (Hawking radiation) 。現時仍然未能探測到霍金輻射的存在，未來若成功的話除了將再一次驗證廣義相對論以外，更會對建立量子重力理論 (quantum gravity theory) 大有幫助。就讓我們拭目以待吧！

重力波研究、宇宙學研究、黑洞研究，都是直接檢驗廣義相對論預言的方法。加上 2019 年 4 月 10 日公布的黑洞照片，大自然每一次都偏心愛因斯坦。相信愛因斯坦在天上又會伸出舌頭，調皮地說：「我早就知道了！」／／

［０９２８　教師節＊憶名師］
今天是教師節，也剛好是我踏入補教界第20年，趁這個機會回憶一下高中補習的經驗

感謝當時的補教名師們給我的養分，滋潤我的補教夢想，也祝各位教育夥伴 #教師節快樂

請把要給我的祝福化為行動，幫我的IG教學帳號(即將滿2萬追蹤)分享給高中生，也幫我的Youtube頻道(即將破萬訂閱)按個訂閱。
https://www.instagram.com/cmmath/?hl=zh-tw

https://www.youtube.com/channel/UCkFG4UB42m0vvx9Rv8ISeFw…
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故事開始：
高中是我補習最多的一個時期，英文、數學、物理、化學、每科都補，從升高一的暑假就開始我的補習之旅，到處試聽(領贈品.車馬費)，

國中我補的都是小型家教班，人數不超過20人，但是一到台中的補習聖地-水利大樓，讓我開了眼界，班班都是百人以上

我也在心中默默的幫老師數錢，一班200人，一人一學期學費$6000(民國88年左右)，三個年級再乘以3，然後有的一個年級還開2班，

你自己心算一下，應該也會跟我一樣張大嘴巴: 哇!!!，

於是那時候，我就立志要當個補教名師，哈哈

​
當時流傳一個說法: 數學補羅輯，英文補劉鎮，

所以第一個試聽的就是羅輯老師，當時跟我國中的好朋友阿鈞一起去，我們遲到10分鐘，導師引導我們快點進教室，一開門我整個呆住，300人的大教室全部坐滿，座位是跟電影院一樣由低到高，中後段的兩側牆壁還掛上電視螢幕，讓太遠看不到黑板的學生可以看螢幕抄筆記，

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我繞了一圈真的沒有座位，轉頭看到導師拿了2個板凳，示意我們坐在走道上，挖靠!好像我在小時候巷口廟會播放露天電影院的時候，

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你說那怎麼抄筆記? 就是趴在前一個人的背上抄，那時候我真恨我前面不是個妹仔，是我那個宅男朋友
​

羅老師上課很有活力，會像猴子一樣蹦蹦跳跳的，有時候一眨眼他就從講台右邊奔跑到左邊，我筆記還來不及抄，他又從左邊跑到右邊了

​

中堂休息的時候，我腰酸背痛，我跟阿鈞很有默契的拿起包包逃離現場，這種環境不是我要的！雖然沒有補羅老師的數學，可是卻讓我第一次感受到名師的魅力，之後羅老師創辦了私校-弘文中學又是另一個故事了!

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那英文劉鎮呢?

當然也不能錯過，當時他在水利大樓七樓，人數一樣很多，劉老師上課都講他自編的講義，課本的內容他會給你錄音帶自己回家聽(當時CD還沒很盛行，不是家裡都有CD Player)

​劉老師頭髮微禿，笑起來會憨憨的(沒有貶意)，很有親和力，三不五時分享的故事都很好笑，有一些我都還記得，現在上課講給學生聽，大家還是笑到東倒西歪，不過真的很後悔當時沒有好好學英文，現在有時候想看一些國外大師的原文書或電子報都很吃力

​第一堂英文下課後，櫃台老師問我們要不要聽數學，劉鎮英文搭的是[朱志群]數學，而且當時櫃台老師都是正妹(一定都是挑選過的，所以後來我開補習班都秉持這個原則XD)，正妹老師話還沒說完，我們就猛點頭預約了下次數學的試聽時間

​朱志群老師有一頭白髮，但是年紀看起來沒有很老，身材高挑，

年輕時候一定是個帥哥，他是建中的老師，第一次試聽就送我們他自己編的參考書，上面有他的本名-朱正康，據說他是在外面補習班教書，一直被檢舉，所以乾脆離開建中不教了(可見補習班賺多大 哈哈)

​他上課很特別，是給一本空白講義自己抄筆記，筆記本我到現在還留著，是黃色的，封面有一隻貓，上課節奏有點快，一個題目可以延伸到另一個題目，讓整個觀念架構學得很完整，印象最深刻的就是第一學期最後一堂課下課散場時，他說要唱歌歡送我們，我跟幾個同學聽到他唱完才離開，朱老師讓我感受到補教名師該有的氣度與風采

​本來高一下要續報朱老師的課程，不過發生一個意外，寒假跟同學去參加了炬光社(一中一個服務性社團)的活動，是要到火車站募集發票，認識了一個女中的紅毛(他的髮色有很自然的晶瑩紅)，朋友跟我說他是在陳立數學補習，這時候一定要見色忘友的拋下阿鈞，轉到12樓的［陳立數學］(現在他是獨立一棟在太平路跟三民路的路口旁)

​但是不是陳立本人上課，是張老師，這是我第一次知道陳立數學原來可以不用陳立上課，就跟長頸鹿美語不是長頸鹿上課一樣，補習班是全國統一一份講義，但是不同地區分校是不同老師上課，讓我在高一就有了教學團隊的概念。​

陳立的講義是分很多小主題，真的編得很棒，這種主題式的編法很好抓段考的重點，一個主題就是一種題型，所以段考成績也進步很多，而且上課時可以遠遠的看著紅毛的背影，這個學費繳得很值得！​但是我覺得就是只能針對小範圍的考試有幫助，大範圍的考試很難靠這樣的題型整理去拿分。

升高二的時候，聽說紅毛交男朋友了，又剛好發生一件超好笑的事，就是下課的時候拿問題去問輔導老師，那題頗有難度，老師想了一陣子，我同學是個賤嘴，就一直在旁邊喊:好了沒?要多久??要不要傳真去台北給陳立解呀?!

​結果主任在一旁聽了很不爽，考卷一丟把我們趕出去，我們嚇到從12樓跑樓梯下去，一邊跑我一邊幹剿我朋友:你真的嘴很賤耶。

​跑到一樓的廣場，我們停下來一邊喘一邊互看，2秒之後一起大笑，真的是很特別的體驗
​

兩件事加再一起，讓我有想換補習班的念頭，這時候各門派的同學就會開始拉人，因為介紹費很優渥，印象中幾千塊的都有，兩人對分還是很多(以當時麥當勞一個套餐只要65的物價來說)

最後被祐成一句話吸引: ［劉力維］那邊一半以上都是女中的，而且人數比較少(不過他現在人數一直都是台中最多的了)

他真的很了解客戶的痛點與需求！

廢話不多說，馬上去試聽，果然!教室前面一半都是綠油油的一片，
當時我們都戲稱是[劉力維女子數學家教班]，​雖然動機是去看妹仔，不過我還是很認真聽課啦!

劉老師真的很強，他的教法很注重證明，每個公式定理都把來龍去脈講解得非常清楚，題目反而講得少，一開始很不習慣，後來慢慢發現，證明的過程中就是在建立解題策略，整個大策略建構起來，題目不管繞幾個彎，都能迎刃而解。

劉老師在數學這部分是影響我最深的，至今我的教法八成以上都是源自劉老師當時灌輸在我腦袋中的，當時劉老師會給我們一個小本本把整理的題型解法抄在裡面，我也都還留著，直到我開始在補習班教書，也都延續使用這個小本本的方式幫學生整理

​所以如果要我選一個人當師父，或是要我選一個派別，我會說我是劉派的!後來踏入補教界，要取藝名時本來想叫[陳力維]來向老師致敬，後來怕被老師的粉絲攻擊就作罷。

​加上當時的導師-大曹姐/小曹姐很會凝聚班級氣氛，所以就一路補到畢業，之後親戚朋友要我推薦補習班，我也都是推薦劉老師!

​多年前回憶起這段補習歲月，我在google搜尋[劉力維數學]，還找到一篇劉力維語錄的文章，裡面每個字都是有聲音的

此外還有很臭屁的［劉譽物理］，讓我知道名師要如何臭屁炫富到很討喜

還有［陳建宏化學］，讓我知道什麼叫台灣第一的教材，以及很多下流的化學口訣，我到現在還是朗朗上口，這開啟了我的口訣大道，上過我課的都知道，我超多口訣，都要押韻或是用故事包裝

我印象超深刻有時候去上陳建宏化學，一進教室拿一張紙不是教材，是黃色笑話，還記得陳老師最後一堂上課還會倒立，這是什麼梗我到現在還是不懂，不過這就是名師的個人風格

​

高中很有幸的給這些名師薰陶，攪一攪混合成現在的我-陳名數學，
真的很希望有機會能夠在遇見這些老師，跟他們說聲教師節快樂!

​再寫就變成小說了，希望明年教師節可以來個續集，講一下我讀中一中的老師們!