Search
【搬運計畫：積分前篇｜重點七：雙曲函數｜觀念講解｜張旭微積分】
.
本影片介紹了雙曲函數，雙曲函數是三角函數利用尤拉公式表達法去掉 i 以後所形成的函數，因此其本質擁有 exp(x) 的特性；本影片除了介紹其定義以外，也計算了其微分公式
.
更多影片請 YT 🔍 數學老師張旭
.
所有社群平台官方關鍵字：
數學老師張旭、張旭病毒發源地
changhsumath、changhsumath666
.
張旭老師的線上教學平台
google 🔍 張旭無限教室
110學測數學重點來嘍!!!
1.數與式
有理數與無理數/絕對值的數線意義/算幾不等式。
2.多項式
二次函數(極值，恆正，係數的正負判別)/牛頓定理/勘根/虛根成雙/插值多項式。
3.指對數
圖形/對數的定義題(星等，分貝，地震，ph值)/不等式/首尾數(複利，成長率，內插法)與應用。
4.數列級數
等差等比的混合題型/sigma求和應用/複利求和。
５.排列組合
同物排列/排容原理/選排問題/分組分堆/幾何計數(直線數，三角形數，矩形數…)/二項式定理。
6.機率
古典機率(骰子，銅板，數字問題)/條件機率/貝式定理/獨立事件。
７.數據分析
標準差S/相關係數r/迴歸直線/資料的伸縮平移。
8.三角
定義(廣義角)/正餘弦與應用(面積，中線，分角線，偏線，R,r)/二倍角公式/簡易三角測量。
９.直線與圓
斜率/直線的位置關係與分割/線性規劃/圓與線的位置關係/切線的求法。
10.平面向量
加減法概念/共線理論/內積的性質與應用(長度，夾角，正射影)/兩線求夾角(距離)。
11.空間向量
坐標系的設定/外積與面積體積。
12.空間中的平面直線
平面方程式的處理/兩平面求夾角距離/直線與平面的位置關係(交於一點，平行...)。
13.矩陣
乘法與性質/轉移矩陣的判讀/馬可夫鏈/反矩陣(乘法反元素)
14.二次曲線
定義的應用(尤其是兩種曲線的混合命題，共焦點或共頂點…)/求方程式。
請按照上述重點逐一複習，並找試題演練，必可考得佳績！
Go go go & good luck♥
(本文歡迎轉載或分享 請註明出處 謝謝)
金融講ED: 渾水
比特幣泡沫 不一定係龐氏騙局
香港神秘預言家利用超自然力量，短期雙殺樂視和比特幣，前者清盤，後者蒸發了千億元市值。然後，成街都開始討論比特幣的前世今生。
比特幣是經過一定學術討論和洗禮。Satoshi Nakamoto的論文《Bitcoin：A Peer-to-Peer Electronic Cash System》便講解了比特幣的區塊鏈運作，如何公開但又隱形地紀錄交易，又講解如何透過解決Hash函數的加密方法挖礦。公式和專有名詞很多，睇唔明不用氣餒，因為你是正常人，術業有專攻嘛。
懂貨幣經濟學的不一定懂區塊鏈和挖礦的原理；懂工程科技的，也不一定可以兼通貨幣、投機技巧。正如常被比特幣當做類比的鬱金香泡沫，也不見得當年炒作鬱金香球莖的人，盡是植物學家、生物學權威喎。你不一定要摸通投資物的知識也可以賺錢，這就是投機的藝術。
必須利益申報，我沒有持有比特幣，也沒有意思為比特幣講好說話。只是開始感到民情開始瘋狂，想趁機多講幾句。早幾日我用三個故事寫挖擴的歷史投機演變，網民選擇性覺得我暗諷強推比特幣挖礦和課程的商人。我沒有打爛別人飯碗的意思，反而白紙黑紙讚這些商人「聰明」。
各人解讀難免先入為主，以致難分曲直，常人望山不似山，覺得別人繞圈子罵他們，想必他們買了很多，同坐一船，不忍負面聲音動搖比特幣步步高升的主觀信條。
David Webb也講比特幣，說它是龐氏騙局。但凡資產價格炒作到高位，可以是一篤就爆的泡沫，但不一定是龐氏騙局。《回魂夜》周星馳也講過：「七孔流血還七孔流血，死還死，兩回事來的。」
龐氏騙局的局，英文譯成scheme，有一系列的計劃部署的意思。龐氏騙局的最大特點，不在於騙局的規模大到快要爆，而是在於內在有「找下線」的誘因設計。原本的龐氏騙局，是以回佣方式，找下線，讓下線的錢供養上線；再以同樣回佣的方式，讓下線再找下下線……一直延伸落去，直到東窗事發，無錢找數為止。
比特幣沒有這種找下線的誘因設計，不能算是龐氏騙局。即使有人高位套現，找人接火棒，那也是所有商品資產常發生的事，股樓、貨幣和商品都是如此。
結論：比特幣可以是泡沫，但不一定是龐氏騙局。幫大家疏理概念，不一定構成投機買入原因，只是玩兩手之前，知多一點。比特幣可以炒幾高，我真係睇唔透，比起理性分析，反正都是投機賭博，我是選擇相信香港政治經濟預言家蕭生的超自然力量。
https://www.am730.com.hk/column/share/109374
線上課程賣場：https://changhsumath.1shop.tw/ewkhca
成為這個頻道的會員並獲得獎勵：https://www.youtube.com/channel/UCU2axN3MDyvq01LOK1umZGQ/join
追蹤我的ig：https://www.instagram.com/garylee0617/
加入我的粉絲專頁：https://www.facebook.com/pg/garylee0617/
有問題來這裡發問：https://www.facebook.com/groups/577900652853942/
喜歡這支影片，記得按個"喜歡"，並且分享
訂閱就可以看到最新的影片
你最棒，記得按鈴鐺^^
高中數學重要觀念解析：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGkzAh5k3h-CI0-clwS7xsWm
數學思考題型：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGmx__4F2KucNWpEvr1rawkw
關於數學的兩三事：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGlD5ABfGtLkOhNIRfWxIRc5
真的祥知道：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGmQC77bAQPdl_Bw5VK8KQc-
YouTube合作影片：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGlQk7b-jDmCaUjJ57UMSXsf
高中數學講座：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGmgafYQliX1Ewh2Ajun9NNn
學測考前猜題：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGko-fghK4k3eZJ23pmWqN_k
指考數甲數乙總複習https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGlrdoVFRflK46Cm25CGvLBr
統測考前猜題：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGkP_Nvl8iToZUWNfOHT42Pg
抖音精選：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGmoWuzdrsxoeKQBR_GgZyIk
國中會考總複習：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGlbMqjF4W6ElHM_lrFZijkg
線上課程賣場：https://changhsumath.1shop.tw/ewkhca
成為這個頻道的會員並獲得獎勵：https://www.youtube.com/channel/UCU2axN3MDyvq01LOK1umZGQ/join
追蹤我的ig：https://www.instagram.com/garylee0617/
加入我的粉絲專頁：https://www.facebook.com/pg/garylee0617/
有問題來這裡發問：https://www.facebook.com/groups/577900652853942/
喜歡這支影片，記得按個"喜歡"，並且分享
訂閱就可以看到最新的影片
你最棒，記得按鈴鐺^^
高中數學重要觀念解析：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGkzAh5k3h-CI0-clwS7xsWm
數學思考題型：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGmx__4F2KucNWpEvr1rawkw
關於數學的兩三事：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGlD5ABfGtLkOhNIRfWxIRc5
真的祥知道：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGmQC77bAQPdl_Bw5VK8KQc-
YouTube合作影片：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGlQk7b-jDmCaUjJ57UMSXsf
高中數學講座：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGmgafYQliX1Ewh2Ajun9NNn
學測考前猜題：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGko-fghK4k3eZJ23pmWqN_k
指考數甲數乙總複習https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGlrdoVFRflK46Cm25CGvLBr
統測考前猜題：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGkP_Nvl8iToZUWNfOHT42Pg
抖音精選：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGmoWuzdrsxoeKQBR_GgZyIk
國中會考總複習：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGlbMqjF4W6ElHM_lrFZijkg
線上課程賣場：https://changhsumath.1shop.tw/ewkhca
成為這個頻道的會員並獲得獎勵：https://www.youtube.com/channel/UCU2axN3MDyvq01LOK1umZGQ/join
追蹤我的ig：https://www.instagram.com/garylee0617/
加入我的粉絲專頁：https://www.facebook.com/pg/garylee0617/
有問題來這裡發問：https://www.facebook.com/groups/577900652853942/
喜歡這支影片，記得按個"喜歡"，並且分享
訂閱就可以看到最新的影片
你最棒，記得按鈴鐺^^
高中數學重要觀念解析：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGkzAh5k3h-CI0-clwS7xsWm
數學思考題型：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGmx__4F2KucNWpEvr1rawkw
關於數學的兩三事：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGlD5ABfGtLkOhNIRfWxIRc5
真的祥知道：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGmQC77bAQPdl_Bw5VK8KQc-
YouTube合作影片：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGlQk7b-jDmCaUjJ57UMSXsf
高中數學講座：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGmgafYQliX1Ewh2Ajun9NNn
學測考前猜題：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGko-fghK4k3eZJ23pmWqN_k
指考數甲數乙總複習https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGlrdoVFRflK46Cm25CGvLBr
統測考前猜題：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGkP_Nvl8iToZUWNfOHT42Pg
抖音精選：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGmoWuzdrsxoeKQBR_GgZyIk
國中會考總複習：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGlbMqjF4W6ElHM_lrFZijkg
以下要介紹常見的反雙曲函數的微分方法(導函數) , 我會仔細撰寫他的詳細證明過程， 而再開始證明前, 你還需要知道雙曲函數的微分以及一些不等式，我再下面都會一一 ... ... <看更多>
双曲函数 _百度百科最基本的双曲函数是双曲正弦函数sinh和双曲余弦函数cosh，从它们可以导出双曲正切... 减法公式; ▫ 二倍角公式; ▫ 三倍角公式; ▫ 半角公式; ... ... <看更多>
雙曲函數公式 在 [工數] 關於逆運算子與雙曲函數的推導請教- 看板Math 的推薦與評價
為了增加求特解的方法，所以學了逆運算子法
現在我已學會了
1 1
----- exp(ax) = ----- exp(ax)
L(D) L(a)
當a是L(D)的k重根(k不小於1)
則公式為
1 1
------ exp(ax) = ------- x^k exp(ax)
L(D) (k)
L (a)
當然這公式包含了a不是L(D)的根的情形
1 1
------ cos(ax+b) = ------- cos(ax+b) 而sin(ax+b)的情形亦同
L(D^2) L(-a^2)
而當-a^2是L(D)的k重根時(k不小於1)
1 1
-------- cos(ax+b) = ------------ x^k cos(ax+b)
L(D^2) (k)
L (-a^2)
這公式也包含了-a^2不是L(D)的根的情形
上面三角函數的推導是借助複指數 exp(i(ax+b)) = cos(ax+b) + i sin(ax+b)
利用第一個公式，再比較實部虛部推得的。
今天我做了一個題目：求解 y" + 3y' = 28 cosh(4x)
因為右邊是雙曲餘弦函數，書上沒有公式，所以就自己想辦法推推看
我就在想cosh是否有和cos相似的公式，也就是有沒有
1 1
-------- cosh(ax+b) = ------------ x^k cosh(ax+b)
L(D^2) (k)
L (-a^2)
於是我仿照書上對cos與sin的推導
得到了
L(D^2) cosh(ax) = L(a^2) cosh(ax)
a^2沒有負號了!
L(D^2) sinh(ax) = L(a^2) sinh(ax)
但是cos跟sin可以用複指數公式扯在一起做，而且實部虛部不會互相影響
我就想了用
cosh(ax) + sinh(ax) = exp(ax)
於是
1 1 1
------- cosh(ax) + ------- sinh(ax) = ------- [cosh(ax) + sinh(ax)]
L(D^2) L(D^2) L(D^2)
1
= ------- exp(ax)
L(D^2)
1
= ---------- x^k exp(ax)
(k)
L (a^2)
1
= ---------- x^k [cosh(ax) + sinh(ax)]
(k)
L (a^2)
到這裡我就猜想
1 1
------- cosh(ax) = ------------ x^k cosh(ax)
L(D^2) (k)
L (a^2)
(sinh的情形亦同)
但是我這樣做跟在做三角函數時有個情形不一樣，就是我這裡沒法用比較實部虛部
所以我就對這公式有點疑惑，不曉得正確性
麻煩知曉逆運算子法的朋友給點提示，謝謝。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 125.233.12.17
※ 編輯: pentiumevo 來自: 125.233.9.189 (11/13 17:51)
... <看更多>