各位凌晨安
一段時間沒見了
因為最近在趕工跟反骨男孩酷炫老師合作的課程
如果沒意外的話，下下周就會開賣了
然後今天要跟大家分享的是中間值定理
中間值定理是一個聽起來很自然但其實內含很多概念的定理
如果你沒看過他真正的證明
可能會常常忘記中間值定理的條件到底有哪些
因為中間值定理的嚴格證明
通常擺在高等微積分的課程裡面
也因為如此
我在微積分課程裡面講中間值定理的時候
也不會去證明這個定理
因為如果真的要講到其核心
那可能需要花一些時間講解連通集的概念
總之我在這部影片中只會描述中間值定理
頂多特別說明如果少了連續函數這個條件或少了單一區間這個條件的話會發生什麼問題如此而已
如果真的很想知道怎麼證明的話
或許可以查詢一下高等微積分的教科書或教授們寫的講義
另外值得一提的是
我講到中間值定理時
一定會提到一個我非常喜歡的定理：定點定理
定理內容是說
一個定義在 [0,1] 上的連續函數
若其函數值介於 0 和 1 之間的話 (可等於 0 和 1)
則在 [0,1] 上存在一點 c 使得 f(c) = c
這個定理真的很有趣
乍看之下可能會覺得怎麼可能
但畫圖嘗試以後卻發現無論如何都會如此
所以如何證明就變成了一大問題
但沒想到居然可以簡單地用中間值定理解決
所以我初學這個定理看到其證明時
真的一瞬間有種「文章本天成，巧手偶得之」的感慨
再加上了解證明以後回頭品味這個定理
更覺得這個定理真的非常美妙
所以在我開始教微積分以後
只要教到中間值定理
我一定會拿定點定理當作我的精選範例
因為我也希望把當初學到定點定理的感受盡可能地傳達給我的學生們
不過這裡提到的定點定理只是簡單版本
事實上在幾何學裡面還有更深奧的定點定理
而定點定理也非並非只是數學家發現這樣的現象就試圖證明之然後結果成功的一個產物
其實定點定理的應用超乎你的想像
想知道更多資訊的話可以參考這篇由吳志揚教授所寫的文章：https://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d202/20206.pdf
● 更多影片請到張旭老師 YT 頻道：數學老師張旭
● 頻道連結：https://www.youtube.com/channel/UCxBv4eDVLoj5XlRKM4iWj9g
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