【專欄】高中微積分和大學微積分的 6 個差別‼
各位晚安
今天來寫一篇很久之前就想寫的文章
只是一直遲遲沒有動筆
「高中微積分和大學微積分有什麼差別？」
這個主題一定有其他老師寫過
但一樣地
我從來都不會因為別人做過了自己就不做
因為每個老師的歷練不同
所以講出來的就算有些地方是一樣的
但還是多多少少會有差異之處
1⃣
首先，絕對會被提到的
就是高中微積分只教多項式函數的微積分
也就是說
高中三年級數甲就算認真學完以後
還是不會算 2^x 的微分或 log(x) 的積分
(以上是指普遍的應屆畢業生)
當然有些物理老師可能會偷教三角函數的微積分啦
所以我上面故意不提三角函數😅
所以有些同學如果覺得高中微積分讀的好
大學微積分就會躺著過的話
那可能就想的太美好了
因為大學微積分並不是只有多項式函數的微積分
所以要補足所有基本函數的微積分
還是需要花時間努力一下
而各種基本函數的微分我的頻道目前都已經拍好了
想看的同學可以透過這個連結：https://reurl.cc/Kknmln
2⃣
上面提到唸完高中微積分還是不會 log(x) 的積分
這個除了因為高中的微積分只有多項式的微積分以外
還有一個重點
那就是高中微積分並沒有分部積分
大學微積分中的積分技巧有很多種
變數變換、三角置換、分部積分、部分分式...
以上這些高中微積分頂多只會教變數變換
但其實多項式的積分也用不太到
所以事實上是沒有教什麼積分技巧的
普遍都是逐項積分
因此到了大學以後還是要花很多時間熟練這些技巧
而關於各種積分技巧
剛好我們丈哥有整理
有興趣的話可以參考這部影片：https://reurl.cc/1xadXW
如果你是高三應屆畢業生
建議先看過所有基本函數的微分
然後了解微積分基本定理
再來看這個影片
不然可能會看得有些吃力
3⃣
高中教過許多關於基本函數的公式
對了，忘記說明什麼是基本函數
基本函數就是形如常數函數、多項式函數
指對數函數、三角函數、反三角函數
以及以上這些函數在四則運算以下所產生出來的函數
對於這些基本函數的公式
到了大學，其實很多都用不到
當然現在因為教改的關係
用不到的公式已經越來越少了
但到底最後在微積分裡面絕對要記起來的公式到底有哪些呢？
我這邊簡單條列幾個
例如：
x^n ± y^n 的因式分解公式
x = a^(log_a (x))
log_a (x_1 + x_2) = (log_a (x_1))．(log_a (x_2))
log_a (x_1 - x_2) = (log_a (x_1)) / (log_a (x_2))
三角函數的和角公式
cos^2 (x) = (1 + cos(2x)) / 2
sin^2 (x) = (1 - cos(2x)) / 2
以上這些都是在學習大學微積分時必備的
當然還有其他的
以後有機會在專門拍一部影片來統整
至於其他如同 sin(x/2) 的公式
或是 a^(log_b (x)) = b^(log_a (x)) 這種比較炫技的公式
其實在大學微積分裡面都用不太到
所以大概都可以忘掉沒有關係
4⃣
提到函數的公式
就不得不提大學微積分多了哪些函數是高中沒講的
首先，高斯函數 [x]
這個在高中數學的正規教材裡面並沒有提到
但有些補習班會在寒暑假時拿來當做一個專題
另外是反三角函數
這個在以前台灣的高中數學是有講的
(大概民國 100 年以前都有講)
但現在已經刪掉了
所以這對現在的台灣高中生來說
無疑是增添了一份學習上不可避免的負擔
最後是形如 sinh(x) 和 cosh(x) 這類型的超越函數
(所謂超越函數就是無法滿足任何多項式方程的函數)
這些看起來跟 sin(x) 還有 cos(x) 的函數
常常會讓本來就快忘光高中數學的大一學生搞得更混亂
當然可能還有一些函數
但我目前最有印象的就是這三個
5⃣
上面提到超越函數
那接下來講講一個特別的超越函數：指對數函數
在台灣的高中數學裡面
早就透過描點和指對數運算律建立指對數函數的世界觀
但到了大學
大概會有一半的學校重來一次
在大學微積分裡面
會先透過極限定義 e 這個數字
然後再用指數運算律建立 e^x 這個函數
嚴格說起來應該是 exp(x) 這個函數
最後再用反函數的概念定義 log(x) 這個函數
講到這邊，不得不強調一點
高中的 log(x) 是以 10 為底數
而大學的 log(x) 則是以 e 為底數
並且常常會把 log(x) 縮寫成 ln(x)
所以在定義上的不同
這也是在初學大學微積分時一定要注意的
如果想知道 e 這個自然底數如何產生的話
可以參考這個影片：https://reurl.cc/g7jORL
6⃣
以上講的都是大多數台灣的學生初學大學微積分時所會遭遇到的
和高中微積分不同之處
最後我想講一個只有理工學院的同學會遇到的差異之處
那就是「極限的嚴格定義」
高中微積分在教極限的時候
通常只教直觀的極限
也就是透過計算和觀察函數的左右極限來求極限
但到了大學微積分
特別是理工學院的學生
就絕對逃不掉極限的嚴格定義
這邊列一下定義內容：
「lim_(x→a) f(x) = L」若且唯若
「對任意 ε > 0 存在 δ > 0 使得凡 0 < |x - a| < δ 均有 |f(x) - L| < ε」
噁心吧？
這個是絕大數理工學院的學生不可避免的主題
而且會出現在第一次小考或期中考裡面
然後很多學生就送分了
送還給教授分數
雖然說就算整個大學微積分都學完了但極限的嚴格定義從未真正了解過也沒差
但如果大學微積分一開始就考差
那是不是表示期末考就得更努力才能把及格分數追回來呢？
很多人都講反正十年後也用不到微積分
現在這麼努力幹嘛
其實我從來都沒有要所有人都要努力
我只要求想跟我學微積分的學生要努力
但說真的
就算十年以後用不到
但如果在學微積分時不努力
導致隔一年又要在重來一次
那不是把自己的人生拖延住了嗎？
學生階段的學習老實說很多都不是為了未來是否實用
而是為了當下
為了證明自己是一個能夠安裝任何知識的頭腦
證明自己是能夠撐過各種無聊和困難習題考試的人
然後透過這一次又一次的證明
去證明自己是一個可以理解問題並解決問題的人
如此而已
至於講未來會不會用到的那些人
我認為都只是想為自己當下的逃避找一個藉口而已
不然我也可以這樣想
反正我總有一天會死
我的教學影片總有一天會因為沒有人推廣而再也沒人看
那我幹嘛拍？
有時做一件事情或是學習
真的只是為了解決當下的其他問題而已
不用為每一件事情都去思考他的未來
特別是在學生時期
既然到了這間學校這個科系
就好好學習，累積漂亮的 GPA
當然不只學業要顧
如果行有餘力，也應該找公司實習累積經驗
不過這都是在大三大四以後才要思考的事
在面對「極限的嚴格定義」的當下
我強烈建議學生就是一個想法
不要想太多
試著盡自己最大的努力，在進入下一個章節以前
能把這個學的多透澈就多透澈
當然也要考量目前手上所有科目的重量
不能顧此失彼
但就盡最大努力
顧好所有科目
以後如果有機會
我會再拍影片或寫文章講講大學生如何取捨目前手上的學科還有大學如何選課比較聰明
嗯... 我又離題了
總之「極限的嚴格定義」對剛上大學的理工學院學生來說
絕對是大學生涯第一次試煉
如果想趁著開學前先偷念一點的同學
可以反覆觀看這部影片：https://reurl.cc/oLonv5
///
好啦，講了這麼多
不知道認真看完的有幾個
但就如同我上面講的一樣
很多事情做下去是不太會去想太多未來會不會怎樣的
當然這是建立在這件事不會傷害到自己且對他人有幫助的情況之下
這次大概就分享到這邊
如果迴響還不錯的話應該很快就會有下一篇
所以如果有認真看完的朋友們
覺得認同的話幫我按個讚或分享
覺得有話想對我說的話就在下面留言
有認真看完不知道要講什麼但想表示一下支持的
可以在下面留言「我有看完！」
其實我都蠻佩服關注我粉專的朋友們
也佩服有在看我頻道的同學們
因為我的貼文大多都很長
影片也都是超硬核教學影片
感謝支持我們的人們
因為有這些支持
我們才能繼續走下去😀
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2/x微分 在 [微積] 2x^2+3x-1=0 對x 微分是啥- 看板Math 的推薦與評價
標題這樣寫大家一定感覺像在鬧板 XD 為了吸引觀眾啊..
最近在讀梯度時觀念上有一處很模糊, 再扯梯度之前, 先提一下他處的問題,
最後一路類比到梯度, 把我的梯度的疑問提出來. 請大家有點耐心.
我們說有一函數 f(x)=2x^2+3x+1, 可以對它取導函數,
df(x)
----- = 4x+3 ,
dx
但是我們有對 2x^2+3x+1 =0 取導函數的說法嗎？
前者是對 y=f(x)=2x^2+3x+1 取導函數 , 後者是 2x^2+3x+1=0, 感覺後者的說法很怪.
暫時跳開一下, 我們說,
x=6, 可以左右一起加上一個常數9, 得 x+9=6+9,
嗯, 沒問題, x也還是原來的解沒有增根
x=6, 可以兩邊平方，得x^2=36,
嗯, 也沒問題, 但是x除了原本的6之外，還增根了，增了一個根，叫作-6
所以 x=6, 左右兩邊一起平方, 得 x^2=36 <=> x = ±６
這裡的兩邊平方是什麼意思？感覺就不是像等量加法公理、乘法公理那麼嚴謹
數學界好像也沒有相關的理論仔細討論這等號左右兩邊一起「平方」或幹嘛幹嘛
是什麼意思. 我自己是解釋成 左右兩邊(x與6)一起代進函數f(x)=x^2 這樣.
好的, 回到 2x^2+3x+1=0, 左右兩邊一起對 x 微分(同取 d/dx)
得:
2
2x + 3x + 1 = 0
d d
==> --- (2x^2 + 3x +1) = ---- (0) <===> 4x+3 =0
dx dx
這個「左右兩邊同時blah blah blah」之下, 可以看出原本方程式的解為 -0.5/-1
可是左右兩邊一起同時對 x 微分之後,
x 增根嗎？ 不，沒有
x 減根嗎？ 對
更誇張的是, x 連保有原來的解 x=-0.5/-1 都不了, 面目全非, 變成 x=-0.75
可見這對左右兩邊同時怎樣怎樣怎樣的動作做起來有風險，
有些高中題目, 指對數方程式解不出來, 就左右兩邊同取 log, 讓某些指數掉下來,
以解方程式. 在那時候我們都不會有什麼懷疑，覺得：「左=右」，
左右兩邊同時平方、同時開根號、同時取log、同時取自然指數為底...有什麼問題呢？
左右兩邊同取log, 解出來的x是誰就是誰啊.. 還有疑問嗎？
可是微分在這裡就不然。他會把你的 x 的解完全搞得面目全非。
第一個問題是，為什麼會有這麼奇怪的現象？
第二個問題就是梯度了，
z = f(x,y) = 3x^2 + 2xy + y^2, 這大家都會算梯度,
算出來是二維向量 ▽f(x,y), 唯一
可是這裡也可以寫成, F(x,y,z) = z-f(x,y) = z- 3x^2 -2xy -y^2 =0
原文書課本說, 這樣也可以求梯度 ▽f(x,y,z)
這樣求出來的梯度, 似乎不是唯一的
因為誰跟你說一定要寫成 z-3x^2-2xy-y^2 = 0?
我也可以寫成 3z-9x^2-6xy-3y^2=0, 還是同一個三度空間圖形啊,
因此▽f(x,y,z)就會完全是另一個向量了, 在點(1,2,11)的梯度也不唯一,
請問這批梯度有什麼關係？原文書好像沒強調耶.
即: z=f(x,y)=3x^2+5xy-6y^2 在二維的梯度是唯一，在三維的梯度是不唯一？
這麼重要的東西原文書居然沒寫 @@
另外就是梯度▽f(x,y,z)垂直level surface f(x,y,z)=0 的證明過程中,
就是用到我說的左右兩邊同對某變數取導函數的推導過程來證明,
為什麼不會有問題啊...冏
包括向量函數 r(t) dot r(t)= 常數 => r(t)垂直r'(t) 的證明過程也都這樣用.
有板上高手可以順便證明一下嗎？或者指出為什麼在那種地方的證明過程中,
有一步是f(t)=0, 用了「左右兩邊同取對t的導函數」, 結果之後等號左右兩邊的t跟原本
是同一批解幾合.
多謝。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 1.162.250.76
※ 編輯: alfadick 來自: 1.162.250.76 (04/05 17:28)
為方便邊看邊思考, 我直接修你中間的推文囉
嗯嗯, 謝謝您的熱心回覆,
我也這樣猜耶, 可是原文書證這個例子時
https://ppt.cc/1yOB
我在想, 那個 x(t)^2 + y(t)^2 + z(t)^2 = C 之後
左右一起微分的動作, 應該也有問題
假設x(t), y(t) ... 合在一起是個四次方程式好了,
根據代數基本定理, 最多了不起四個實根t, 再怎樣也不會是獨立變數呀
會不會他證錯了？
※ 編輯: alfadick 來自: 1.162.250.76 (04/05 19:35)
2
令 x(t)= 2t + 3t + 1 , x(t)是t的函數
x(t)=0, 左右同時對 t 微分
x'(t)=0 => 4t+3=0 @@ 我還是覺得哪裡怪怪的
※ 編輯: alfadick 來自: 1.162.250.76 (04/05 21:12)
wohtp 大, 剛腦中閃過一個念頭：「恆等式」,
這應該就是徵結了, 您給的例子 x=sint, y=(cost)^2, z=costsint
三者平方相加，等於1, 即：
x(t)^2 + y(t)^2 +z(t)^2 = 1, 為恆等式
左跟右同為恆等式, 可以想成是 12x^3 + 2x -14 = 12x^3 + 2x -14
那左右一起同取... 你愛取什麼就取什麼....
所以原文書 https://ppt.cc/1yOB 的最大缺點就是,
他沒有明確告訴我們 x(t)^2 + y(t)^2 + z(t)^2 = k (const) 是恆等式
即 x(t)^2 + y(t)^2 + z(t)^2 恆為常數多項式,
即他根本不應該寫誰 of t 了。
To be brief:
因為 t∈R (t 是 vector-valued function的參數)
又 x(t)^2 + y(t)^2 + z(t)^2 = k,
本來很想用多項式恆等定理解釋：找到好幾個t使得左=右，得知左右兩式為恆等式
https://blog.udn.com/w2a1104/3530932
可是... x(t)可能是sin(3t)+log(t^3)+... 這種耶, 這種沒有多項式恆等定理
怎麼證恆等啊 @@
※ 編輯: alfadick 來自: 1.162.250.76 (04/05 22:28)
※ 編輯: alfadick 來自: 1.162.250.76 (04/05 22:33)
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