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bolzano-weierstrass theorem中文 在 [分析] Bolzano–Weierstrass theorem的證明- 看板Math 的推薦與評價


作者ppu12372 (高能兒)
看板Math
標題[分析] Bolzano–Weierstrass theorem的證明
時間Mon Aug 1 00:25:08 2016


https://en.m.wikipedia.org/wiki/Bolzano%E2%80%93Weierstrass_theorem

我想問的是維基百科Alternative proof的倒數第二段

Because we halve the length of an interval at each step the limit of the interval's length is zero. Thus there is a number X which is in each Interval I_n

為什麼 若 範圍趨近於無限小 則 數列會收斂到一個X?

我目前只能確定 若 數列會收斂到一個X 則 範圍趨近於無限小

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Sent from JPTT on my Asus ASUS_Z00AD.

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.231.239.193
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1469982318.A.6C8.html
推 Elvstar : 因為完備性公設(? 08/01 00:46
推 a811612 : 我的想法是，當範圍不斷縮小時，我假設In的開區間半08/01 01:25
→ a811612 : 徑是epsilon,而且在這個區間內仍然有數列中無限多08/01 01:25
→ a811612 : 個點。也就是說，存在一個正數N使得任何n>N都有|a_(08/01 01:25
→ a811612 : n)-x|<epsilon08/01 01:25
→ a811612 : (這是顯然的，因為妳有無限多個點在這區間中)這樣就08/01 01:25
→ a811612 : 符合數列收斂的定義了 08/01 01:25
你這邊的x指的是甚麼??
區間In中的任意一點嗎?
推 Desperato : 範圍的左邊界是遞增數列 右邊界是遞減數列08/01 01:27
→ Desperato : 根據實數的完備性 左邊的數列存在最小上界y 08/01 01:28
→ Desperato : 而且這個y顯然都比右邊的遞減數列小08/01 01:28
→ Desperato : 因此y會落在每個範圍裡面08/01 01:29
→ Desperato : 現在如果有y和z都落在每個範圍裡面08/01 01:30
→ Desperato : 那y到z的距離會被壓縮成0 因此是唯一一點08/01 01:30
→ Desperato : 英文那段敘述只是說 存在一點落在每個範圍裡面08/01 01:32
→ Desperato : 這點是不是數列的收斂值 是那段後面才證的東西08/01 01:32
謝謝，這個解釋很清楚^^
推 vata : Bolzano-Weierstrass指的一個有邊界的區間裡頭, 如08/01 07:37
→ vata : 果有數列包含在裡面, 則該數列一定有收斂的子數列08/01 07:37
→ vata : 你舉ln(x)的例子, 變成是連續的定義了, 和Bolzano-W08/01 07:38
→ vata : eierstrass沒什麼關係08/01 07:38
推 vata : 比如說你隨便給我一個數列，這個數列的每一項都包含08/01 07:44
→ vata : 在(0,1) 區間裡頭，則這個數列必定有收斂的子數列 08/01 07:44
推 vata : 這就是Bolzano-Weierstrass要表達的意思08/01 07:47
推 a811612 : v大，如果您是指我的部分的話，那個In是指第n個區 08/01 08:53
→ a811612 : 間，沒有標示好讓您誤會了~~ 08/01 08:53
推 secjmy : v大是把In看成Ln了嗎XD 08/01 09:41
推 vata : 只看到推文的ln 囧 08/01 09:42
推 vata : 耍笨了 08/01 09:56
※ 編輯: ppu12372 (36.231.239.193), 08/01/2016 11:37:08
→ THEJOY : 基本上就是 Cantor Intersection Theorem 08/01 13:04
※ 編輯: ppu12372 (117.19.112.216), 08/01/2016 16:48:15






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