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cos 2x微分 在 數學老師張旭 Facebook 的最讚貼文
【專欄】高中微積分和大學微積分的 6 個差別‼
各位晚安
今天來寫一篇很久之前就想寫的文章
只是一直遲遲沒有動筆
「高中微積分和大學微積分有什麼差別?」
這個主題一定有其他老師寫過
但一樣地
我從來都不會因為別人做過了自己就不做
因為每個老師的歷練不同
所以講出來的就算有些地方是一樣的
但還是多多少少會有差異之處
1⃣
首先,絕對會被提到的
就是高中微積分只教多項式函數的微積分
也就是說
高中三年級數甲就算認真學完以後
還是不會算 2^x 的微分或 log(x) 的積分
(以上是指普遍的應屆畢業生)
當然有些物理老師可能會偷教三角函數的微積分啦
所以我上面故意不提三角函數😅
所以有些同學如果覺得高中微積分讀的好
大學微積分就會躺著過的話
那可能就想的太美好了
因為大學微積分並不是只有多項式函數的微積分
所以要補足所有基本函數的微積分
還是需要花時間努力一下
而各種基本函數的微分我的頻道目前都已經拍好了
想看的同學可以透過這個連結:https://reurl.cc/Kknmln
2⃣
上面提到唸完高中微積分還是不會 log(x) 的積分
這個除了因為高中的微積分只有多項式的微積分以外
還有一個重點
那就是高中微積分並沒有分部積分
大學微積分中的積分技巧有很多種
變數變換、三角置換、分部積分、部分分式...
以上這些高中微積分頂多只會教變數變換
但其實多項式的積分也用不太到
所以事實上是沒有教什麼積分技巧的
普遍都是逐項積分
因此到了大學以後還是要花很多時間熟練這些技巧
而關於各種積分技巧
剛好我們丈哥有整理
有興趣的話可以參考這部影片:https://reurl.cc/1xadXW
如果你是高三應屆畢業生
建議先看過所有基本函數的微分
然後了解微積分基本定理
再來看這個影片
不然可能會看得有些吃力
3⃣
高中教過許多關於基本函數的公式
對了,忘記說明什麼是基本函數
基本函數就是形如常數函數、多項式函數
指對數函數、三角函數、反三角函數
以及以上這些函數在四則運算以下所產生出來的函數
對於這些基本函數的公式
到了大學,其實很多都用不到
當然現在因為教改的關係
用不到的公式已經越來越少了
但到底最後在微積分裡面絕對要記起來的公式到底有哪些呢?
我這邊簡單條列幾個
例如:
x^n ± y^n 的因式分解公式
x = a^(log_a (x))
log_a (x_1 + x_2) = (log_a (x_1)).(log_a (x_2))
log_a (x_1 - x_2) = (log_a (x_1)) / (log_a (x_2))
三角函數的和角公式
cos^2 (x) = (1 + cos(2x)) / 2
sin^2 (x) = (1 - cos(2x)) / 2
以上這些都是在學習大學微積分時必備的
當然還有其他的
以後有機會在專門拍一部影片來統整
至於其他如同 sin(x/2) 的公式
或是 a^(log_b (x)) = b^(log_a (x)) 這種比較炫技的公式
其實在大學微積分裡面都用不太到
所以大概都可以忘掉沒有關係
4⃣
提到函數的公式
就不得不提大學微積分多了哪些函數是高中沒講的
首先,高斯函數 [x]
這個在高中數學的正規教材裡面並沒有提到
但有些補習班會在寒暑假時拿來當做一個專題
另外是反三角函數
這個在以前台灣的高中數學是有講的
(大概民國 100 年以前都有講)
但現在已經刪掉了
所以這對現在的台灣高中生來說
無疑是增添了一份學習上不可避免的負擔
最後是形如 sinh(x) 和 cosh(x) 這類型的超越函數
(所謂超越函數就是無法滿足任何多項式方程的函數)
這些看起來跟 sin(x) 還有 cos(x) 的函數
常常會讓本來就快忘光高中數學的大一學生搞得更混亂
當然可能還有一些函數
但我目前最有印象的就是這三個
5⃣
上面提到超越函數
那接下來講講一個特別的超越函數:指對數函數
在台灣的高中數學裡面
早就透過描點和指對數運算律建立指對數函數的世界觀
但到了大學
大概會有一半的學校重來一次
在大學微積分裡面
會先透過極限定義 e 這個數字
然後再用指數運算律建立 e^x 這個函數
嚴格說起來應該是 exp(x) 這個函數
最後再用反函數的概念定義 log(x) 這個函數
講到這邊,不得不強調一點
高中的 log(x) 是以 10 為底數
而大學的 log(x) 則是以 e 為底數
並且常常會把 log(x) 縮寫成 ln(x)
所以在定義上的不同
這也是在初學大學微積分時一定要注意的
如果想知道 e 這個自然底數如何產生的話
可以參考這個影片:https://reurl.cc/g7jORL
6⃣
以上講的都是大多數台灣的學生初學大學微積分時所會遭遇到的
和高中微積分不同之處
最後我想講一個只有理工學院的同學會遇到的差異之處
那就是「極限的嚴格定義」
高中微積分在教極限的時候
通常只教直觀的極限
也就是透過計算和觀察函數的左右極限來求極限
但到了大學微積分
特別是理工學院的學生
就絕對逃不掉極限的嚴格定義
這邊列一下定義內容:
「lim_(x→a) f(x) = L」若且唯若
「對任意 ε > 0 存在 δ > 0 使得凡 0 < |x - a| < δ 均有 |f(x) - L| < ε」
噁心吧?
這個是絕大數理工學院的學生不可避免的主題
而且會出現在第一次小考或期中考裡面
然後很多學生就送分了
送還給教授分數
雖然說就算整個大學微積分都學完了但極限的嚴格定義從未真正了解過也沒差
但如果大學微積分一開始就考差
那是不是表示期末考就得更努力才能把及格分數追回來呢?
很多人都講反正十年後也用不到微積分
現在這麼努力幹嘛
其實我從來都沒有要所有人都要努力
我只要求想跟我學微積分的學生要努力
但說真的
就算十年以後用不到
但如果在學微積分時不努力
導致隔一年又要在重來一次
那不是把自己的人生拖延住了嗎?
學生階段的學習老實說很多都不是為了未來是否實用
而是為了當下
為了證明自己是一個能夠安裝任何知識的頭腦
證明自己是能夠撐過各種無聊和困難習題考試的人
然後透過這一次又一次的證明
去證明自己是一個可以理解問題並解決問題的人
如此而已
至於講未來會不會用到的那些人
我認為都只是想為自己當下的逃避找一個藉口而已
不然我也可以這樣想
反正我總有一天會死
我的教學影片總有一天會因為沒有人推廣而再也沒人看
那我幹嘛拍?
有時做一件事情或是學習
真的只是為了解決當下的其他問題而已
不用為每一件事情都去思考他的未來
特別是在學生時期
既然到了這間學校這個科系
就好好學習,累積漂亮的 GPA
當然不只學業要顧
如果行有餘力,也應該找公司實習累積經驗
不過這都是在大三大四以後才要思考的事
在面對「極限的嚴格定義」的當下
我強烈建議學生就是一個想法
不要想太多
試著盡自己最大的努力,在進入下一個章節以前
能把這個學的多透澈就多透澈
當然也要考量目前手上所有科目的重量
不能顧此失彼
但就盡最大努力
顧好所有科目
以後如果有機會
我會再拍影片或寫文章講講大學生如何取捨目前手上的學科還有大學如何選課比較聰明
嗯... 我又離題了
總之「極限的嚴格定義」對剛上大學的理工學院學生來說
絕對是大學生涯第一次試煉
如果想趁著開學前先偷念一點的同學
可以反覆觀看這部影片:https://reurl.cc/oLonv5
///
好啦,講了這麼多
不知道認真看完的有幾個
但就如同我上面講的一樣
很多事情做下去是不太會去想太多未來會不會怎樣的
當然這是建立在這件事不會傷害到自己且對他人有幫助的情況之下
這次大概就分享到這邊
如果迴響還不錯的話應該很快就會有下一篇
所以如果有認真看完的朋友們
覺得認同的話幫我按個讚或分享
覺得有話想對我說的話就在下面留言
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其實我都蠻佩服關注我粉專的朋友們
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cos 2x微分 在 數學老師張旭 Youtube 的最佳解答
【摘要】
本影片演示 sin 倍角和 cos 倍角相乘積分的計算技巧
【勘誤】
4:30 ∫ sinx cos3x cos5x dx 應等於 ∫ (sin4x+sin(-2x))/2 *cos5x dx
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【微分應用篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXjNzXUa9hI2IfknA8Q7iSwE)
【積分前篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXikxrvbQAnPa_l3nFh5m9XK)
【積分後篇】
重點一:進階積分技巧:高次倍角三角函數積分 (https://youtu.be/Gbj51Z9asMo)
├ 精選範例 1-1 (https://youtu.be/db5WdP_4bpQ)
├ 精選範例 1-2 👈 目前在這裡
└ 精選範例 1-3 (https://youtu.be/fQn0lCFEGyc)
重點二:特殊積分形式之其一:含絕對值的積分 (https://youtu.be/ntuZMDxA2oE)
重點三:特殊積分形式之其二:含無窮的積分(瑕積分)(https://youtu.be/VaCL5moZojc)
重點四:微積分基本定理 II:先積再微型 (https://youtu.be/Zc5rO2JIXxA)
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cos 2x微分 在 Re: [中學] 合成函數- 看板Math 的推薦與評價
※ 引述《chpen (元)》之銘言:
: 請問為何 y=sin(2x) , y=sin(x^2) 是合成函數呢?
: 為何微分要用連鎖律去計算呢 ? 謝謝。
你的問題應該是 不用連鎖律 算的起來嗎??
答案是可以的
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我們的微積分課本很明確的說出
f'(x)= lim (f(x+h)-f(x)) / h
h→0
當我們求sinx的微分時 我們是把f(x)=sinx 帶進去 正好得到f'(x)=cosx
我們才會說sinx的微分等於cosx
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至於sin(2x)會不會是cos(2x)呢?
那你就要帶進去上面那條 最原本微分的定義去計算 (事實上是不對的)
而且非常不好算(事實上也不會很難算啦....)
sin(2x)的微分 = lim (sin(2(x+h))-sin2x) / h (依照定義寫出來的)
h→0
= lim (sin(2x)cos(2h)+cos(2x)sin(2h)-sin(2x)) / h (和角公式)
h→0
= lim sin(2x) * (1-cos(2h))/h +cos(2x) * sin(2h)/h
h→0
網路上有很多資料 可以說明 sin(h)/h=1 (1-cosh)/h=0 當h→0時
https://www.youtube.com/watch?v=2Fo2dSDiZJI
https://answers.yahoo.com/question/index?qid=20110130195223AALXMbI
用同樣的方法 會得到 sin(2h)/h=2 (1-cos(2h))/h=0
帶回去 就會得到 sin(2x)的微分=2cos(2x)
所以不用連鎖率是算的出來的
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但是數學家就問你了
當我遇到sin(g(x))
想求他的微分 難道都要從 最基本的定義開始算嗎
答案是 不要 因為這樣好累
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所以我們就發展出連鎖律來解決 sin(g(x))的問題
舉例來說 我想求 sin(x^2)的微分 (這時候可以把x^2看成g(x))
我就用連鎖律
連鎖律告訴我們 df df dt
- = -*-
dx dt dx
此時我們發現當我令 f(x)=sin(x^2)
t(x)=x^2
帶進去會得到 df/dx = [ d(sint) / dt * d(x^2) /dx ]
= cost * 2x
= 2x*cos(2x) (t是我假設的 所以最後我全部都要變x)
btw 當我對x的微分 那我被微分的函數 必須寫成x的函數才能微分
當我對t的微分 那我被微分的函數 必須寫成t的函數才能微分
所以我們發現用連鎖律才處理這樣的函數 會比從定義來作來的快
所以可不可以不用連鎖律計算呢?
答案是可以的 只是會很麻煩 有些醜ㄧ點的函數甚至更麻煩
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至於你在推文中的
chpen :請問 f(x)=sin(x) g(x)=x 我可以說sin(x)是合成函數? 06/24 20:36
當然可以囉!!!
按照合成函數的定義
f(g(x))就是合成函數 而你f(x)=sin(x) g(x)=x的假設
正好也說明了sinx可以寫成"合成函數的形式"
(所以你應該會發現任何函數都可以寫成"合成函數的形式")
所以才會有板友說廣義上來說 是
我們發展出合成函數的初衷是因為要處理一些比較困難的函數
而不是要回頭針對一些簡單的函數說:你是合成函數嗎?
事實上直接說 XXXX是合成函數嗎 這樣的語法對初學者來說滿突兀的
所以你才會有這個問題
如果換個說法說法 XXXXX"可以寫成合成函數的形式"
感覺你應該比較能接受吧?
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以上希望有回答到你的問題
如果有問題或著我有寫錯的可以ㄧ起討論
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 163.17.164.92
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1403657592.A.393.html
※ 編輯: ballballking (163.17.164.92), 06/25/2014 08:53:58
※ 編輯: ballballking (163.17.164.92), 06/25/2014 08:55:24
※ 編輯: ballballking (163.17.164.92), 06/25/2014 08:59:38
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