本週的播放清單如下
週一：向量函數的積分
週二：曲面分析與面積分
週三：旋轉體分析
週四：三變數函數的積分
週五：向量函數的極限、連續與微分
以下是可以許願的清單
記得只能許願某個重點，不能直接許一整章
若是有人許過你想許的主題
可到 YT 許願
youtube.com/post/UgxOAnbloHj78w6vjI14AaABCQ
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【積分(前篇)】
重點一 定積分直觀觀念
重點二 奇偶函數的積分
重點三 定積分正式定義
重點四 積分運算性質
重點五 微積分基本定理 I - 先微再積型
重點六 不定積分與反導數
重點七 雙曲函數
重點八 微分表II
重點九 四大積分基本方法之一：變數變換法
重點十 四大積分基本方法之二：三角置換法
重點十一 四大積分基本方法之三：分部積分法
重點十二 積分表
重點十三 四大積分基本方法之四：部分分式法
【積分(後篇)】
重點一 進階積分技巧：高次倍角三角函數積分
重點二 特殊積分形式之其一：含絕對值的積分
重點三 特殊積分形式之其二：含無窮的積分 (瑕積分)
重點四 微積分基本定理 II - 先積再微型
重點五 旋轉體積分
【數列與級數】
重點一 數列與數列的極限
重點二 數列極限的運算性質
重點三 數列連續化求極限法
重點四 夾擠定理
重點五 單調數列與有界數列
重點六 級數
重點七 級數的運算性質
重點八 級數審斂法一：等比級數
重點九 級數審斂法二：p-級數
重點十 級數審斂法三：比較審斂法
重點十一 級數審斂法四：極限比較審斂法
重點十二 級數審斂法五：比值審斂法
重點十三 級數審斂法六：根值審斂法
重點十四 級數審斂法七：積分審斂法
重點十五 級數審斂法八：交錯級數審斂法
重點十六 絕對收斂和條件收斂
重點十七 冪級數
重點十八 冪級數的運算
重點十九 泰勒級數與泰勒定理
【多變數函數的微積分】
重點一 多變數函數
重點二 二變數函數的極限
重點三 二變數函數極限特殊求法
重點四 二變數函數極限運算定理
重點五 二變數函數的連續
重點六 二變數函數的偏微分
重點七 高階偏微分
重點八 偏微分運算律
重點九 多變數函數的微分量 (全微分)
重點十 方向導數
重點十一 梯度與等高線
重點十二 等值面與切平面
重點十三 相對極值、絕對極值和鞍點
重點十四 拉格朗日乘數法
重點十五 二變數函數的積分：二重積分
重點十六 二重積分的極座標轉換
重點十七 二重積分的應用
重點十八 三變數函數的積分：三重積分
重點十九 柱座標與球座標
重點二十 三重積分的應用
【向量微積分】
重點一 向量函數的定義
重點二 向量函數的極限、連續與微分
重點三 向量函數的積分
重點四 曲線分析
重點五 旋轉體分析
重點六 向量場與保守場
重點七 線積分
重點八 微積分基本定理 for 線積分
重點九 格林定理
重點十 梯度、旋度、散度
重點十一 曲面
重點十二 曲面分析與面積分
重點十三 散度定理
重點十四 史托克定理
以上就是能許願的清單
統計到本周六晚上 10 點
結果會在本周日晚上公告
然後下周一至五晚上 6 點在我頻道限時首播
反函數定義 在 Re: [反函數] 一反函數問題… - 看板trans_math 的推薦與評價
※ 引述《handsome0716 (SIGMA)》之銘言：
: 想問一個關於反函數的問題
: 我知道反函數的定義 也就是原本函數的定義域為另一函數的值域 原本函數的值域變為
: 新函數的定義域 則兩函數互為反函數
這樣描述還會包括進很多不是互相為反函數的組合
f : R -> R
f(x) = x+1
g : R -> R
g(x) = x+2
這樣定的話 f 的值域跟定義域都是 R, g 也是, 他們不互為反函數
重要的是反函數要把原本函數送過去的東西再送回來, 讓他們兩個合成後是 identity
: 請問…假如一函數f(x)=y=x-1
: 則f^-1(y)=x=y+1=g(y)以及f^-1(x)=y=x+1=g(x)
: 這兩個到底哪個才是f(x)的反函數 印象中會因習慣問題講自變數以x表示 然後f^-1(y)
: =x=y+1=g(y)改為f^-1(x)=y=x+1=g(x)然後才會跟f(x)對稱
: 但第一張圖突然又說g(y)是f(x)的反函數 那g(x)又是什麼…
1. 函數裡面的變數是 "dummy variable", 不論我們用什麼變數, 他們表示的都是
同一個函數. 令
f(x) = x^2
g(t) = t^2
h(u) = u^2
r(a) = a^2
不僅 f, g, h, r 相等, 而且 f(x) = x^2 跟 f(t) = t^2 跟 f(z) = z^2 通通一樣
函數就是把一個東西映射到另一個東西, 而 f(x) = x+1 這種記號的意思就是,
對於所有在定義域中的物件, v, 我們把它關聯到對應域中的物件 v+1
其中我們應該要知道在對應域中 "v+1" 要怎麼解讀
2. 文章中符號有混淆的地方
f(x) = x-1
f(t) = t-1
f(z) = z-1
這裡的 x, t, z 是 dummy variable, 用來代表這個函數要把什麼數字
送到什麼數字, 用什麼符號都一樣
"令變數 y = f(x), f(x) = x-1"
這句話想表達的是, 在以下環境中, 我們希望 y 是 x 的函數.
雖然我們只寫一個字母 y, 但是心中要把他想像成 f(x), 想像成 x-1 之類的算式
而當我們寫 g(y) = y+1, 這裡的 y 跟上面是毫無關聯的, 他只是在表示
g 這個函數是把一個數字 v 送到 v+1, 這個 y 是用來描述 g 這個函數的
dummy variable, 不是 y = f(x) 的 y
3. 若 y = f(x) = x-1
則 f^{-1}(y) = y+1
到此為止, 沒有 f^{-1}(x) = y = x-1 這個等式
我們知道 f 會把 x 送到 x-1, 也就是把 5 送到 4, 把 123 送到 122
而 f 的反函數會把一個數 y 送到 y+1, 也就是 7 送到 8, 把 255 送到 256
f^{-1}(y) = y+1, 我們可以任意改變變數, 不影響 "把什麼數字送到什麼數字":
f^{-1}(w) = w+1
f^{-1}(t) = t+1
他們都是一樣的. 因此 f^{-1}(x) = x+1 才會代表同一個函數
假如我們認定了符號 y := x-1, 那麼顯然 f^{-1}(x) = x+1 不等於 y
: 第二張圖說f^-1(y)為反函數 讓我覺得很矛盾 f^-1(y)不是只是f(x)移項的結果嗎 然
: 後要把y換成x 也就是f^-1(x) 這個東西才是反函數吧…
:
:
符號上習慣讓 "f^{-1}(y)" 指稱 f(x) 的反函數罷了
函數重要的是輸入與輸出之間的關係, 中間用什麼方式來描述都不影響的
也有的介紹到集合論的書會用數對的集合來建構函數:
把 f : N -> N
f(x) = x+7
這個函數, 用集合 {(1,8), (2,9), (3,10), (4,11), (5,12), ...} 來表示
這樣我們知道輸入是 2 時, 也能輸出要是 9
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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/trans_math/M.1513445249.A.3B1.html
要先注意, 把函數連結到平面也是我們自己訂的. 例如我們說假如對一個函數
f(t) = ..., 在 t = x 的時候值是 y (= f(x)), 那我們就把點 (x,y) 畫在平面上.
那這樣變換 dummy variable 對作圖有沒有影響? 並沒有, 因為還是同一個函數,
但是我們可以改變把它畫在平面上的畫法.
假如每個函數我們固定以輸入為 x 座標, 輸出為 y 座標, 那毫無疑問的一個函數
跟他的反函數的圖形會沿著 y = x 這條直線對稱, 這是因為反函數定義就是送過去
再送回來不會變:
兩個函數 f, g 互為反函數(加一些範圍適當什麼的條件), 那
g(f(u)) = u 對所有適當的 u
f(g(v)) = v 對所有適當的 v
這兩個函數畫成圖會怎麼樣呢? 假設 (x,y) 在 f 的圖形上, 也就是說
y = f(x), 那我們知道 x = g(y). 因此 (y,x) 在 g 的圖形上. 反過來說也
成立, 因此他們圖形沿 y = x 對稱.
但我們可以用不同的方法來畫圖. 對於以下的式子
y = f(x)
x = f^{-1}(y)
假如我們說: 讓我們畫圖時, 這式子裡的 x 就代表 x 座標, y 就代表 y 座標,
那當然也可以(向你舉的那個 x = f^{-1}(y) = y-1 的例子). 而這個時候他們
畫出來的圖形就是同一條了:
(x,y) 在 f 的圖形上 <=> y = f(x) <=> x = f^{-1}(y) <=> (x,y) 在 f^{-1}
描述的曲線上
那這個時候 dummy variable 可不可以變? 可不可以寫 z = f^{-1}(x), w = f^{-1}(t)?
變 dummy variable 的話函數本身當然不會變, 但我們前面說的 x 代表 x 座標 y
代表 y 座標這個連結就兜不起來了.
其實這種用法在微積分裡也滿常見的. 例如我們描述一條 x-y 平面上的直線 L
也可以描述說 L 就是滿足 x - y + 1 = 0 的點的集合, 要把它看成函數的時候
可以把 x 看成 y 的函數也可以把 y 看成 x 的函數. 不論哪種看法我們想描述
的是同一條線.
※ 編輯: suhorng (165.124.144.106), 12/18/2017 08:56:33
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