110指考數學重點來嘍🙂
~~數甲部份~~
1.極限的求法(重要)/無窮等比求和
2.圖形/極值(重要)/根的個數/切線問題(重要)
3.定積分的幾何意義/微積分基本定理(重要)/面積
4三角函數圖形/疊合與極值(重要)
5.複數乘除與旋轉(重要)/隸美佛定理(重要)/n次方根
6.期望值(重要)/獨立事件(重要)/二項分配(重要)
7.共線理論/內積與應用(夾角/面積)(重要）
8.外積/面積/體積(重要)
9.空間中平面與直線關係/夾角/平行/垂直/交點/距離(重要)
10.三元一次方程組的解 與幾何意義
11.二階變換(旋轉/鏡射/伸縮/推移)(重要)/馬可夫鏈
12.指對數圖形/不等式/首尾數(重要)
13.有理根檢定/插值多項式/勘根(重要)/虛根成双(重要)
14.直線與圓的位置關係(重要)/圓的切線問題
~~數乙部分~~
1.勘根(重要)/插值法/虛根成双(重要)/有理根檢定/餘式假設法(重要)
2.指對數圖形(重要)/不等式/首尾數(重要)
3排容原理/同物排列/分組分堆(重要)/二項式定理
4.硬幣/骰子/數字的古典機率問題 /條件機率(重要)/貝士定理(重要)
5.期望值/獨立事件/二項分佈/信賴區間(本章重要)
6.線性規劃(應用題)(重要)
7.共線理論/內積(重要)/正射影/距離 /夾角/面積(重要)
8.矩陣的乘法/反距陣(重要)/馬可夫鏈(重要)
9.極限問題(分式/根式/指數)/無窮等比求和(重要)
10.二次函數求極值(應用)/高次不等式
採穩紥穩 打策略 慢慢來不要急
要看清題意 避免粗心 一定要檢查
如果不會有拉肚子困擾
考前喝半杯可樂 有助解題噢
祝大家 考試順利♥
Gooooooood luuucccck!
(本文歡迎分享 感恩🙏)
二項式定理 在 Re: [其他] 二項式定理與多項式- 看板Math 的推薦與評價
※ 引述《yee381654729 (Yee)》之銘言：
: 在不定義0^0=1的前提下，
: n只能為正整數，
: 公式要如何寫才正確？
: 多項式：
: 對於項次為n+1項之多項式，
: c[0]+c[1]*x^1+c[2]*x^2+...+c[n]*x^n
: n為非負整數。
: 在定義0^0=1的前提下，
: 上式=Σc[k]*x^k{k=0到n}
: 在不定義0^0=1的前提下，
: 公式要如何寫才正確？
原本實在是不想回的....
我想你把Sigma的概念給想錯了，Σa_n只是一個記號而已，他不是公式。
Sigma的引進是為了"記和"。
在數學上，我們常需要計算一些數字的和，例如
a_1+a_2+...+a_n，
但是用"..."這樣的符號來表示是非常的語意不清。於是數學家就發明了
利用希臘字母來表示和，於是就引進了Sigma這樣的符號概念。然後大家
約定
Σ_{k=1}^{k=n}a_k =a_1+a_2+...+a_n (連加n項)
重點是在於後面的和，Sigma只是用來表示這樣的和而已。
而大家在討論多項式的時候為了不想要記a_0+\sum_{k=1}^{k=n}a_kx^k，
所以就約定x^0=1，然後多項式a_0+a_1x+...+a_nx^n就約定寫成
\sum_{k=0}^{k=n}a_kx^k=a_0+a_1x+...+a_nx^n
這是方便起見。而二項式定理的情況也是類似，例如
(x+y)^n =x^n+ {n\choose 1}x^(n-1)y+...+{n\choose n-1}xy^{n-1}+y^{n}
於是約定x^0=1, y^0=1，然後就可以把和"表示成"
\sum_{k=0}^{n} {n\choose k}x^(n-k)y^{k}
但實際上你要永遠清楚你在處理的問題是在求和，不是在sum =Sigma上。只是這樣的
符號實在是太好用了，好用到我們其實是可以直接用這符號來處理數學問題。
而多項式f(x)=\sum_k a_kx^k給了你，是告訴你f(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n。而帶值
的方式是
f(a)=a_0+a_1a+...+a_na^n。
這在我上面那一篇回應你的0^0=1的內容就提到了。"變數"跟"數"的概念是不一樣的。
數的概念可以推廣，這也是為甚麼後來需要發展代數理論的關係。這裡的數我們談實
數體的數或複數體的數。甚至是更一般的體(field)的數都可以用來研究多項式。事實
上多項式的系數並不需要要求在一般的體，你可以研究係數在一般的環的多項式。
"變數"的概念就不同了，在代數學中你可以抽象的引進形式上的符號(formal variable)
建構一套以這個變數為出發點的代數理論。
數學在過去一兩百年已經完整的建構了最基礎的分析，代數體系。這是經歷了數百位
著名的數學家的努力才足以完成。數學不只有算術，最重要的是他必須要建立一套嚴
謹的理論:在公設系統出發之下建立的任何命題，推論，定理都是不能產生自相矛盾的。
你當然可以更改公設系統發展出另外一套的數學理論。例如從歐幾里得幾何學到
非歐幾里得幾何學的發展就是這樣的一個過程。只是你建立的數學系統是否能用到數學
其他的領域才是最重要的。
如果你真的想繼續討論下去，你真的必須要用更多的理由來說服大家0^0=1是重要的。
上面的代數理論並不是為了逃避0^0=1才發展的。這是為了建構完整的多項式理論發展
的，(推廣多項式到更一般的環上)在推廣這樣的理論時根本就用不到0^0=1。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 195.37.209.182
※ 編輯: herstein 來自: 195.37.209.182 (12/02 20:49)
你的定義只能局限在某些問題，卻不能推廣到更一般不含1的環上，我的專業回答
就是告訴你這件事。如果你真的想討論，建議你去讀高等代數，再來討論。
不然你是無法跟數學專業的人溝通的。
※ 編輯: herstein 來自: 88.77.147.76 (12/04 20:44)
集合的二元運算有很多種，假設a,b是實數，你可以定義a*b =a+b+1。
那麼0* b = b+1就不是你說的0了。
如果你能花點時間學習代數學，你就可以體會為什麼數學家經歷了這幾百年要如此的
定義。你要跟人溝通之前，你也應該尊重別人的專業。科學的目的就是客觀，是大家
必須認可的。如果你只想堅持自己的意見而不聽別人的想法，溝通。那麼你的東西永
遠都不會被拿來使用，永遠不會被承認是科學。
所以推薦一下:Herstein, Topics in algebra
Hungerford, Algebra
Jacobson, Basic Algebra
S.Lang, Algebra
※ 編輯: herstein 來自: 88.77.147.76 (12/04 22:02)
這個定義目前來說也只是一個notation，還不能說他有甚麼意義。
因為你沒辦法說1是甚麼，0是甚麼。
那假如我們今天的出發點是，假設R是一個具有單位元素的環。
我們記0^0=1。那麼我們希望定義一套理論，是合理的使用0^0=1。
好，假設今天是交換環，ab=ba, ab屬於R。
那麼我們可以證明多項式定理(或二項式定理)成立(n>=1)。
可以說明0^0=1讓二項式定理在n=0成立。
但多項式環R[x]中的x，並非R中的元素。你並不能說x^0=1，就是來自於偷用0^0=1。
因為即使你定義了0^0=1，a^0=1，這些a都是存在在R中與x無關元素。
這就是你沒搞清楚的點。x是一個變數，並不一定要屬於R。
你的0, 1, a,b 都是R中的東西。所以x^0=1並沒有偷用你0^0=1
的定義。
即便是你考慮實係數多項式|R[x]，x也是一個變數，並非實數。
如果你只能要求x是實數，那麼代數理論會走不下去。因為
|R[x]=|R
當x是實數的時候。也就是說，你根本就沒有多項式理論，更不用談
體擴張，更不用講代數幾何了。所以照你的定義才是真正的危險。
數學理論可以不用發展了，代數幾何課本都可以拿去茅坑丟掉。
所以你要搞清楚一點，0^0=1跟x^0=1是兩回事，這兩者的意義根本就
不同。這就是為什麼大家叫你去讀代數學的書。你根本連變數跟係數
都分不清楚，你要怎麼讓大家去信服你的理論。
※ 編輯: herstein 來自: 88.77.147.76 (12/07 08:51)
※ 編輯: herstein 來自: 88.77.147.76 (12/07 08:52)
假如f:X-> R是一個實值函數，其中X可以代表著複數集合或是實數集合(或是定義在其他
field的子集合，甚至是一般的集合都可以)。
如果f(x)=c，其中c式一個常數。那麼請問f(0)等於多少?
如果把多項式視為定義在體上的函數也無不可，那麼就你的問題，我們來看。
f(x)=a_0 + a_1x+...+a_nx^n
試問f(0)等於多少?要不要用到0^0的定義?答案當然很顯然，f(0)=a_0，這不需要用到
0^0=1。我們只是把1記為x^0，所以 f(x)=a_0x^0+a_1x+....+a_nx^n。
定義g(x)=a_0，那麼f(x)=g(x)+\sum_k=1^n a_kx^k。
那麼請問f(0)為多少?答案g(0)，也就式a_0。那這裡有沒有用到0^0=1?沒有。
你所謂的公式不是式，我已經強調很多遍了，那只是notation。你的函數本身
在常數項a_0 =a_0x^0，只是代表著把1記為x^0 (咱們就先考慮複數體，有1的)
那麼0^0=1也非必要定義。
當a,b是數(實數，複數，或是任何交換環中的元素)時二項式定理成立。
當x,y是變數(variable)的時候，x,y之間不存在任何關係，二項式定理不存在。
當x,y是非交換環中的元素，且xy不等於yx時，二項式定理不成立。
二項式定理你去看中學課本，會告訴你x,y是數。
你應該搞清楚x,y是數跟變數的差異，就會知道你搞不清楚的點在哪。
※ 編輯: herstein 來自: 88.77.144.231 (12/08 09:20)
yee大師的意見很好。我認為教學的時候要講清楚公式的使用條件。
而二項式定理我也會告訴學生，當b=0時， (a+b)^n =a^n 是不需
要用到任何公式的，因為這是指數律的定義。a^n = a*...*a 有n個。
當a,b均是不為零的時數時，我們可以如何計算呢?a^0=1=b^0在
a,b均不為零的時候是沒有爭議的，因此(a+b)^1= a^1 +b^1
(a+b)^n =a^n+...+b^n,這裡的...yee大師應該知道是甚麼。
既然當a,b均不為零時，a^0=b^0=1，我們就把
(a+b)^n = sum ..., 這裡的...yee大師也知道是甚麼.
在教學的時後的確要小心，真的不能亂用。
特別是會告訴她們0^0在數學界的共識就是未定義，不要聽信網路上的謠言說0^0=1。
老師們在教書的時候要特別小心的告訴學生，使用公式定裡的條件是甚麼。
因為這是數學系的基本訓練。yee大師一個業餘的數學家可以做到如此程度，熱血，
也真是令人無比佩服。
本來不想談政治的。不過我們就好像一個是李登輝，一個是馬英九。
馬英九說有九二共識，李登輝說九二沒有共識。無法有交集。
但政治的敏感話題跟科學是兩回事。政治上很多事情很模糊，可是數學的定義
是不允許模糊。所有世界上著名的數學家都不認為你說的0^0=1有其必要性，
因為我們在學代數理論時，從頭到尾都沒談到0^0=1。任何一本代數課本都沒提。
但是知道為何他不被定義為1就是因為他具有爭議性，例如我們跟你無法在0^0=1
上取得一個共同的認知，那麼最好的共識就是讓他沒定義。即便是定義了他，
我們也沒有實際的用途。二項式定理我們通常會使用在(x+y)^n，當n不為零時。
如果你讓n=0定義為1，你實際上只是在使用1，並沒有使用到0^0=1。
或許更可以理解的說法是"把1記為x^0。"你的f(x)=a_0，你帶任何值都是a_0，
是常數函數。
我們一值都在說明，除了你之外，大家都可以理解。是你無法接受這種說法。
數學家也是很忙，沒空理這種問題。只是出於一個想法，希望寫一些東西，
能夠讓其他人不被你的這種說法誤導，同時也讓大家更清楚代數理論的重要
在哪。因為很多數學系的學生覺得代數很抽象就不去學，但實際上他是一套
建立"數學架構"的過程。
挑戰權威當然很好，可是你必須要有根基。如果你把這樣的精神拿去解
homological mirror symmetry conjecture，我會很佩服。但如果要用0^0=1
來批判數學界怎樣就不必了。因為那是沒意義的，數學界是已經達到共識
0^0是甚麼。
也歡迎你來讀數學。Witten是從經濟轉到物理，相信你也可以從你現在的領域
跨足數學的。當然，前提記得有空可以看一看
Topics in Algebra, by I.N. Herstein
這一本真的是很好的入門書，淺顯易懂。
※ 編輯: herstein 來自: 94.220.244.40 (12/12 07:52)
請問閣下有幾年的教學經驗?
不知道你怎們教 學生甚麼叫a^n?有用到0^0=1的定義嗎?
即便你每次都忽略沒看到，我們還是很有耐心。
交換群是具有群結構並且二元運算是教換的，跟變數的關係在哪?
※ 編輯: herstein 來自: 94.220.244.40 (12/12 12:40)
成立的原因並非二項式定理，你並不能說因為二項式定理的關係所以(a+0)^n = a^n。
這邏輯就不對了，因為你是先有了指數律，才有二項式定理。
但你可以說，(a+b)^n=a^n是當b=0時的二項式定理。
而成立的原因是指數律的定義，並不需要0^0=1。
一般的書不會提這種形式的二項式定理，因為這是非常顯然的，
來自於指數律的定義。那如果要仔細寫的話，你也是可以把這段話含進去，
但那只是指數律而已，你並沒有真正講甚麼東西。
二項式定理的精神在於當a,b均不為零的時候你想去計算(a+b)^n。
其中一項為零，就單純的回到指數律。
※ 編輯: herstein 來自: 94.220.244.40 (12/12 13:05)
真的要寫出來試得寫成(x+y)^n=x^n+C(n,1)x^(n-1)y+...+C(n,n-1)xy^{n-1}+y^n
這才是二項式定理的公式，Sigma只是把這個公式寫成notation的形式
為了要說明...是甚麼
然後產生命題，定理。只要在他那套公設系統下，他的邏輯命題一切不互產生矛
盾的，基本上，你的理論就是合理。
但是二項式定理，跟多項式理論不成為你定義0^0=1的理由就在於他已經是個完備
的的理論，並不需要用到0^0=1的定義。這一點你一直無法認清。而理由下面那篇
文也已經給出來了。
數學不是一門誰比較老，誰說話就比較大聲的學問。一切都是根據定義出發。
但是他是一門專業的學問，如果你要批評專業，你就必須要從專業出發。這是
為甚麼一再的建議你閱讀代數書的原因。代數書提供的是二項式定理，還有
多項式理論的理論知識。如果你要從非代數得的角度出發也可以，從分析的觀點
0^0=1不被允許理由就是lim(x,y)->(0,0)x^y極限不存在。那麼從代數的角度，
0沒有乘法反元素，以及多項式理論不需要用到0^0=1自然就給了他不被定義的理
由。如果從集合論的角度出發0^0=1被定義為1是有意思的。理由xcycl已經說明了。
今天，所有的數學理論基本上都是由分析學與代數學出發，分析學既然無法接受
那樣的定義你當然得從代數學出發。為何數學家的共識是讓他不被定義好?
一個好的定義是必須要通盤(universally true)的正確，並且是跨領域的。
一個東西非常有用，即便看起來不是對的，數學家也會想辦法讓他有他的理論。
最好的例子就是迪拉克分配函數。迪拉克分配函數並不是函數，他的物理定義是:
δ(x-x_0) = 無限大 當x=x_0, =0 當x不等於x_0。
這種東西當然不是函數，因為實數不存在無限大。數學家為了讓這套理論成立，
發展了分配理論(distribution theory)。L schwartz因此拿到費爾茲獎。
數學上有太多理論的發展就是因為他看起來不太對，但是又太有用了，所以才
努力的建構出一套系統，讓他在那套系統下的意義是對的。
更不用說弦理論中的模空間理論或是量子場論中許多牽扯無限的東西。
上面談到的homological mirror symmetry也是一個例子。當物理學家恣意的
使用超對稱理論解釋兩種超弦理論的對偶性，這套理論實在是太美了，美到
數學家需要建構一套理論去陳述他。
今天0^0=1並沒有那樣的魅力，至今看不出他的用處在哪。當然很歡迎您來發展。
數學是有其彈性，但他沒有用，大家就不會去定義他。頂多只是把他當notation。
上面寫的Dirac delta function也只是一個notation，實際上你必須要把他看成是
線性泛函才有意義。
※ 編輯: herstein 來自: 94.220.244.40 (12/13 10:07)
※ 編輯: herstein 來自: 94.220.244.40 (12/13 13:34)
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