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幾何平均數概念在 MIC Friends Facebook 的精選貼文

2020-06-26 21:06:54 有 3 人按讚

媒體報導，今年端午節粽子商機高達3億，但昨天的貼文驗證這個數據應該只是電商或超商等通路而已。如果將傳統市場、攤商、甚至是家庭自製等數量估計進去，那全台端午節的粽子商機總量有幾顆呢？ 👇

--
👉 解題重點 : 電商平台販售 vs 其他通路的比例多少才合理？沒什麼概念？不妨使用費米推論教我們的【幾何平均數】來估算！

📌 找出下限值 > 假設比例為 1:50（每50顆粽子，至少有1顆是從電商或超商販售出去；如果沒把握，用1:100也行)
📌 找出上限值 > 假設比例為 1:1（每2顆粽子就有1顆是從電商或超商販售出去）
📌 求出幾何平均數 > (50*1) 開根號，約為7

--
👉 假設每顆粽子50元，3億元商機約等於售出 600萬顆粽子
👉 用1:8的比例反推，全台粽子的數量約為4800萬顆
👉 假設吃粽子的人口主要為青壯年，約佔總人口60％，也就是2300萬的60%，約1380萬人
👉 兩者相除，每個青壯年人口在端午假期平均約吃3.5顆

這樣數據是否比較合理了呢?😄😄😄

🔍 費米推論的精神並非找出實際答案，而是學習在找答案的過程中，逐步學習抽絲剝繭的推論技巧，將抽象的問題具象化，最終可以求得一個概估的數據！
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By C.C.M Math

2019-11-07 13:10:19 有 3 人按讚

【數感生活——成長率、幾何平均數，偶爾還有算術平均數】

最近成長率又成為熱門的時事議題。某位教授先用相加的算術平均數，得出台灣4年來的成長率為2.44%。被抨擊「怎麼可以用算術平均數來算成長率，成長率是類似複利的概念，要用相乘再開根號的幾何平均數才對」

之後，該教授又貼了一則文章，解釋算術平均數跟幾何平均數在這個情況下是很接近的，所以方便起見他用算術平均數，並附上了數據與程式碼。

當然程式驗證是沒問題的，不過比起程式，數學上的驗證同樣重要且有趣。許多網友已經指出，若是要講究嚴謹，使用「泰勒展開式」會是一個不錯的工具，來證明在面對成長率這種議題時，當成長率不大，算術平均數的確是幾何平均數的近似值。

在這邊，我們提供一個更簡單的，必然曾經出現在各位國高中黑板上的算式來解釋。

首先，
(1+a)(1+b)=1+(a+b)+ab
當a、b都很小，以台灣成長率來說最高不超過0.03。你可以想像ab的值最大也只有0.0009，小到可以忽略了。所以我們可以得到
(1+a)(1+b)≈1+(a+b)

同樣的道理，推展到4個年度的成長率相乘(是不是覺得數學能夠推展的特性真是很棒很好用呢?)，成長率分別是a、b、c、d，可以得到
(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)≈1+(a+b+c+d)

假設這四年的(幾何)平均成長率是g，同樣可以寫出
(1+g)(1+g)(1+g)(1+g)≈1+(g+g+g+g)=1+4g

整理後就能得到
g≈(a+b+c+d)/4
的結果，近似符號右邊是算術平均數，左邊的g則是幾何平均數。

以上，就是為什麼算術平均數跟幾何平均數在這個狀況下，答案會差不多的原因。不過我們要強調，兩者的根本意義完全不同，不能只因為「在某些狀況」答案很接近，就覺得選哪個都無所謂，不明究裡的方便主義會出問題的。舉個反差很大的例子，倘若某年成長100%，隔年衰退50%。

則算術平均數是(100-50)/2=25，平均成長25%。可真正的成長狀況是2x0.5=1，根本沒有成長，幾何平均數是0%。
這時候就差很多了。數據可以有不同的解讀，但回到數學本身，正確答案只有一個。

PS: 感謝張宏彬（Hung-Bin Chang）博士協助勘誤XD 也歡迎網友熱心補充泰勒展開式版的說明 ( Sean Huang博士不來一下嗎) ~

PS2: 我們沒有要幫該教授辯護的意思，基本上我認為在沒有解釋清楚的前提下就使用算術平均數去近似，是有失嚴謹的，儘管事後他有補充說明。撰寫這篇文章的本意只是試圖用數學的角度，讓大家理解為什麼，以及在什麼情況下，算術平均數與幾何平均數得到的結果近似。

Tags: 幾何平均數概念

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