【100分】
兒子下課回來,很興奮地掏出書包裡的月考考卷跟我說:「我的社會考一百分呢!另外國文考了92分喔~」;事實上在考試前幾天,是我第一次聽到奶諾主動要爸爸陪著他複習,然後一邊嚷嚷著說:「要月考了我會緊張」~~入小學都不知道考幾輪了,直到快要小學三年級,終於見他慎重地面對考試。
其實,從奶諾進小學之後我從來沒有要求過他的學業成績,也不會因為考不好給予懲罰;他考過60分邊緣,甚至還有不及格,我們都沒動怒過,只是陪著他重新探討題目,找到自己寫錯的原因。
很多時候奶諾根本是沒好好看題目、粗心、不專注導致寫錯,這時候就得好好訓練他專心看題目不要跳著選字看;
有時候,面對所謂錯誤的答案,他卻有自己的邏輯解釋,很明顯不想被刻板教材綁死~這樣滿好的,我們會一起討論題目,這就是激發多元思考的好時刻;
總而言之我完全沒有因為考試考很爛而責備過他;到了月考前也不會特別給予壓力要拼命在家複習,如果他平時有吸收進去,就不需要考前拼命填鴨。
對我而言,與其教出一個為了滿足爸媽期待而想考高分的孩子,或者是懼怕處罰而努力唸書的學生,他們因為都不是出於自發性想要努力,終究會在某一天喪失學習的動能。
#不知道為什麼要學習
#學習過程中只是為了考高分
最終都無法激活多元思考能力,無法把知識們融會貫通,未來人生不止不容易累積財富力,也很容易在柴米油鹽生活壓力下迷失人生樂趣;
#畢竟學習從來都是為了分數或者滿足別人,從來沒有因為學習而讓自己內心富足過啊!
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我從2016年開始做非常多的成人教學,每一次學生的問題都差不多:不敢問問題、不想分組討論、只想一直坐著聽老師說、問他們問題很不願意回答......結果往往這樣被動學習回家後,吸收成效都不若想像,無法把學習到的知識技能好好運用在生活中。
面對問題時,只想要得到現成明確的答案,久而久之就喪失了思考力,接著連判斷力也遺失了。
有一天上線上英文課,外籍老師跟奶諾聊天,問他長大想要做什麼呢?奶諾遲疑了非常久,我們以為他不會講英文單字所以卡住....結果當老師再問他時,他說:「I don’t know how to say because too many answers…」原來他想要當好多職業,以至於不知道要說哪一個才是他最愛的!是科學家?還是昆蟲專家?還是電玩高手?
但譬如他學習時,我們會引導讓他知道為什麼要學數學、為什麼要讓英文流暢、為什麼要練習寫出複雜的要命的國字.....反正都不為了分數,而是為了他自己的能力累進而學習。
我認為,自主學習能力需要從小被好好呵護、也需要從小慢慢去培養起來;而自主學習的動力,很容易被學校的分數排序給扼殺、更容易因為家人對分數的要求而喪失學習興趣;
遙想當年歷經聯考,在學校、在補習班、在家...都是少一分打一下的伺候模式,竹筍炒肉絲前還要用綠油精搓手搓到發熱避免過度疼痛.......直到畢業後我才重新找回自發學習的動力啊~~~
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前幾天被媒體人網路發言而打擊到內心(可以看我前幾天發文),覺得自己或許是個失敗的媽媽~~今天可真的算是個強心針,用耐心與愛陪伴兒子學習,似乎開始有小小的回報了~~那個回報,便是兒子學會自己去在乎、自己去複習、然後為自己的成果感到興奮不已~~
這是無比珍貴的人生經歷啊~~
#奶諾質疑我幹嘛貼自己的粉專
#他說他考100分應該貼自己的粉專給他的粉絲看
同時也有9部Youtube影片,追蹤數超過8萬的網紅賭Sir【杜氏數學】HermanToMath,也在其Youtube影片中提到,杜氏數學 國際官方網站 http://www.hermantomath.com ---------- Title: 被莊家永遠隱藏的機率原來很易計? ---------- Subtitle: 一張凳、一本簿、一枝筆,便可以簡單運算? ---------- Script: 要知道某投注方法會否為你...
會考 數學 答案 卡 在 Facebook 的精選貼文
[大姆指尋找馬蘭頭]四千幾字。再講一次點解我冇教書。而明顯如果我仲教緊書,會比而家更富貴,但我全無後悔。因為而家過癮好多,教書就冇呢個 Page,就冇你地了。大吉利是我死撚咗,咪得一百幾十個學生加一百幾十個舊生唔開心。而家唔同,「Patreon畀咗年費嗰啲一定記得我」
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1. 之前寫過「安雅會談」(https://lkdin.io/3LYM)(唔睇舊文當全新故事聽亦得),反應唔太好,睇返篇文的確麻麻地。咁點?寫多次!呢間「大姆指」執笠(做埋呢幾日),注定我要寫多次「安雅會談」。
2. 實在唔想雙春悲秋咁寫咩「一個時代嘅終結」,亦唔係咩「童年回憶」。但的確,如果我成咗名,第時就會有人去呢度尋找返我足跡。正如《緬甸尋找奧威爾》一樣,我去仙台尋找魯迅(https://lkdin.io/3LYN),亦都去東京明治神官野球場尋找村上春樹(仲去埋神戶嘅Pinocchio酒吧)(*)。呢間咁嘅「大姆指」,係我唔教書走去做金融嘅轉捩點,然後就差不多廿年。一切就由呢度開始。再講一次,我成咗名,呢度就變景點。
3. 上次寫「我自信有日如願 縱使天高地厚 仍被我逆轉」(https://fbook.cc/3NSr),反應不錯。第一日返工同我食飯嘅三個中學同學,到我Last Day又在同一個地方同我食。當中科學家L君而家正職渣鑊鏟副業補習天王,T君同我一樣做金融,呢篇文會再出場。
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4. 冇人係一出世想做金融的,正如冇人一出世想渣鑊鏟。我個年代嘅新界牛屎仔,係冇咁嘅嘢的。聽聞早前啲小朋友話細細個想做ibanker,我覺得真係錯撚晒。你不如想大個做雞丫。我知職業無分貴賤笑貧不笑娼,但都真係唔使立志的。而家啲小朋友好似話想做KOL 或者想搞 Start up,「仲衰過做雞」「等於畀人免費上」。
5. 我地年代嘅我的志願,都係嗰幾味,科學家啦,醫生啦,運動員都有嘅,歌星就多數唔敢寫落文。而我地幾個,唔係虛偽到會寫我的志願做教師咁刷鞋(我唔同虛偽嘅人為伍)—但偏撚偏就齊齊教撚晒書!命運就係咁神奇。一路都好相信「大家命中注定成為自己細個討厭嘅人」,雖然冇乜科學根據。
6. 點解我地教咗書?我都唔知,但又係偶然中嘅必然。肯定唔係由細到大嘅理想,但玄啲講,唔係我地選擇咗教書,係教書選擇咗我地。我地三人,共通點冇乜,但都可以勉強搵:三大畢業啦(**),唔靚仔啦(重要,因為求職),不太presentable 啦,有啲稜角啦,憤世嫉俗啦。正面啲嘅?叫做鍾意睇書啦,成績還不錯啦—呢啲咁嘅 Profile,加埋2003年沙士嘅就業市場,去咗教書,真係十分合理。提返你,當其時一個GM(學位教師,但有學位嘅唔一定係學位教師,而而家做得學位教師既又好少冇學位),萬八定萬九蚊人工。
7. 而早少少,因為佢兩位介紹,我甚至有在元朗教夜校嘅經驗。(而家仲有冇夜校?)。教會考班呀,好似五舊水定一千一晚?但一個星期好似得一兩晚。最頂癮係,本人就教數學物理,L加就教化學生物,T君就英文經濟—You see?根本成間嘢就係我地三條友教晒
8. 總之,2003年夏天,我地三個都叫做教緊書,就在呢度舉行咗,改變咗我地各自生命嘅,安雅會談。至少係改變咗我。
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9. 2003年嘅夏天,沙士嘛。第個唔知,我真係悶出鳥來,但又好似冇固定女朋友。沙士一早停課,我當年教中五中七,噢耶,停完課就study leave,之後佢地就考試。我白白玩咗半年手指拎咗半年人工,日日在屋企睇有線播友坂里惠嘅金田一,以及打紅白機模擬器。悶到好似日本料理咁出汁。
10. 我嘅生命,亦係差不多。2003年,25歲。拖拍過,愛做過(咪話1998年2月14號港大太古堂801室下格床咯,我成咗名就有人返去打卡!),書教過,歐洲去過,日本未去過,儲蓄係零,甚至負(少量卡數),拎緊萬八萬人工。工作經驗?亦係零,甚至負。真的,對非教書嘅工嚟講,你教書嘅經驗等於零,甚至負—因為啲人覺得教書嘅人都忽忽地,同社會脫節—事實亦係。理想?冇。夢想?冇。同期啲同學?樓都買埋。仔都生埋。你三條友去食大姆指。
11. 但你當係棋局,或者牌局咁,嗰時我地副牌雖然唔太好,但都仲係開頭初頭,勝在仲有無窮可能,仲可以搏同花順。而家呢?大家42歲,牌開咗唔少,冇想像中咁爛,唔係十三不搭 積 pair—無—無 但亦知道冇乜可能有咩大牌食得出,至少我冇。
12. 我由頭到尾都係個比較保守嘅人(風險厭惡度,唔係講性觀念)。安雅會談之前嘅幾年,即係我畢業後,喂大佬,我真係想搵份兩皮嘢嘅工架咋。請恥笑,當時我以為我可以做一世的。咁到安雅會談嘅2003年,教緊書啦,萬八九人工,年年加,兩三四皮根本指日可待。串啲講句,老校個計劃有我,我肯騾仔嘅,SGM(傳說中嘅「主任」)位,必有我份。咁你可以睇下一個SGM幾錢人工。嚇撚死你呀
13. 所以,當時我嘅想法,一定係「唔好搞咁多嘢啦」。「我個個月拎份糧去供盈富基金好過啦」(***)。
14. 但,嗰次安雅會談,不著邊際吹咗一輪水後,朋友T忽然間嚟咗句:「拿,咁之後點先?」。朋友L當然都係答「屌佢老味梗係玩撚大佢啦」,但我當然都係「慢慢儲下子彈先」「拿我過幾年SGM架啦,唔好搞咁多嘢啦」「拿個個月供下盈富基金咪好咯」
15. 然後,朋友T對我呢啲答案唔多滿意。佢嘅特色係會迫人埋牆角,佢唔接受我呢啲和稀泥嘅答案。你人生為乜?為錢嘛,講,幾多?為女人嘛,咁講,想要乜?(係咪好似啲乜乜正能量課程咁呢!我們要乜?要錢要女人!幾時要?現在就要!)
16. 真的,佢無啦啦,同我講起安雅。你自己Google邊個係安雅,應該嗰期出事畀人拉咗。我好奇怪佢會同我講起安雅,因為朋友T向來都唔多講呢啲女色嘅話題。但佢就係話我知,拿,你咁搞落去呢,畀你SGM,安雅都係 out of reach的。我想想,好似有啲道理。
17. 然後佢話我知,一切都應該量化—先有個目標。就當你晚晚要搞明星,咁你咪計下要幾錢,然後計個discounted cash flow.
18. 原諒呢啲對話咁物化女性,我好肯定朋友T係為咗投我所好先咁講的。但大家真係唔好錯重點,重點根本唔止係安唔安雅,事隔十年,係連詩雅又好,衞詩雅又好,根本不重要。安雅就只係一個token,一個icon,一個dummy variable,一個placeholder.佢就代表住所有慾望嘅投射。名利權色,酒色財氣,貪嗔癡,求不得苦。
19. 咁,我係人嘛,人就梗係有慾望架啦。咁咪去追求點滿足呢啲慾望咯(係咯,啲色魔好似都係咁諗嘢的)。
20. 無論如何,並唔係好似拍戲咁,第二日我就返學辭職,另外仲發生咗唔少事。但總之,之後嗰年,2004年嘅7月2日(咩日子?我25歲生日嘅翌日,舊文有講),我就在慈雲山學校村保良局何蔭棠中學部電梯,當住個女同事面(冇錯,早排見報嗰位!),同校長(亦冇錯!早幾年見報嗰位!)辭咗職。
21. 2004年9月1日(咁你都要問點解9月1日?),夏愨道美國銀行中心21樓招商銀行香港分行,我就開始咗金融界嘅第一份工。如果係拍續集嘅,會見到我同一個光頭鬼佬刷身而過,嗰條鬼佬就係後來我在耆英證券嘅老細 占士咖啡—冇錯,嗰時耆英證券仲係在美國銀行中心。
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22. 要解釋我點解唔教書去咗做銀行,都真係有啲難,有唔少唔同嘅事件。有人以為我追搣時不遂所以唔教書—前半啱,但我只係打算離開教嗰緊學校啫,我大可以去第間教。後來見工都總有人問,我總會有答案,嗰啲中環廢話你都唔想聽,但唔係完全假 — 我假假地讀精算,又Master in Financial Mathematics,中環都未返過,就甘心在學校村,同班友玩宮心計 奶校長屎忽 (仲要幾臭下)摶SGM然後好彩升副校做埋校長咁一世?
23. 定係我地可以試下啲其他嘢?
24. 如果講我只係貪戀中環嘅酒色財氣,又好似講得太簡單。不如我用個全新角度講,過癮。做人嘅嘢,最緊要好玩。人其實天生賓放貪玩。
25. 我早早已經決定唔做精算師,應該話佢早早排除吴我,主要係我冇能力,亦冇興趣,我冇能力嘅嘢我自然冇興趣,令我生活冇咁痛苦。T君嗰時已經話,得罪講句,你唔做精算師,對個世界冇乜損失。的確如此,雖然如果我做到,我可能會畀而家更有錢。但個重點係:冇咗 埃汾ASA FSA,呢個世界係唔會有丁點不同的
26. 然後,教書。同好多人估嘅唔同,根據合理估計,如果我一路教緊書,我而家嘅身家應該更豐厚 —留意我講身家,即係net worth,唔係收入。因為,如果我一路教緊書,無論如何我點都會2005或2006年買樓(****),但現實中嘅我2013年先買,呢度已爭一截。再加上我唔會出現啲轉工或被炒要沽股票之類。
27. 冇錯,我就係話你知,根本就唔係因為錢,正好相反。我仲教書嘅,而家一定更多錢—但我嘅人生一定少好多樂趣,你地都少好多樂趣,因為根本唔撚會有君子馬蘭頭。我啲教書嘅朋友,自己Facebook 都唔多敢講嘢。如果我唔教書嘅,社會有少少損失,但我嘅人生就冇咁過癮,你地亦睇少好多嘢。
28. 所以最後,好似而家咁,幾咁好呢?我照樣可以春風化乳 有教無淚 誨人好倦將啲後生仔打成一片片。錢係少咗啲,但過癮嘛!大家話係咪?
29. To sum up:做精算師Ivan Li ASA FSA嘅(當我做到先啦),錢多過而家,但生活冇咁過癮,對社會貢獻係零。
30. 做李老師 附加數學科主任 李蛇 PGDE(*****),錢都係多過而家,生活更加冇癮,對社會貢獻有些少,但只係我教嘅一百幾十個學生,教廿年三十年,咪幾千個,記得你嘅有冇七十二個?
31. 而家變咗 馬蘭頭CFA嘅,錢真係冇以上兩個選擇咁多。但,好撚過癮!最重要係,對個社會有貢獻。我Patreon寫文嘅宗旨,呢度都講下:好彩嘅你會贏到錢,但贏唔到錢至少你都學到嘢—就算worst case你學唔到嘢,你都會有啖笑下嘛!
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32. 再換個方法講,我係精算師,我死撚咗,有誰關心?冇。我係教師,我死撚咗,有誰關心?有嘅,我未失敗到啲學生要開香檳。但而家我死咗,呢度都話晒一萬幾千人關心我喎(當然仲有Patreon啲讀者)(特別係畀咗年費嗰啲!)。而反正,呢度唔少讀者,咪就係我以前嘅學生咯!(******)
33. 正如我呢度寫咗5000字,為乜?唔通為錢?當然係為過癮。呢個亦係我同好多金融人唔同嘅地方。
34. 錢當然重要,但過癮都好重要,最好就當然係why not both.所以我開咗個Patreon,係我一生人做得有啲成績嘅三件事合理:Writing, Teaching, Finance。正係WTF
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35. 村上春樹式,有頭有尾,或者套戲交代返啲人物嘅現實結局咁。呢間嘢,燉奶佬集團,係十分之咁難食嘅。即使在美食地獄嘅屯門市中心,都真係劣中之劣,我已經好多年冇再食呢間嘢,反而你話咩太興 麥當勞 MOS Burger 大家樂 大快活我都食。但當年,一來可能未係咁難食,二來可能當時未食咁多好嘢。我相信係前者。無論如何,一間咁嘅嘢,可以屹立在時代廣場(屯門啦仆街,你不如問係咪紐約丫)廿五年,都真係一個奇跡。幾多人你想佢死佢都未死?幸好,我地三個嘅友誼,都outlast咗呢間劣食,已經三十年朋友,and still counting,For auld lang syne(然後諗起《無間道2》智叔吹口琴)
(*)村上春樹鐵粉會知,啲友年年在嗰度睇諾貝爾文學獎結果,年年落空,十足十等安踏(2020)入藍籌咁 – 咦?!所以我話你知,村上春樹今年會拎諾貝爾文學獎。
(**)我到而家都覺得發明「三大」呢個講法嘅香港科技大學,應該拎諾貝爾數學獎。我當然知諾貝爾冇數學獎啦,講Fields medal你咪又係 Google,咪又係要我括住「等同數學嘅諾貝爾獎」
(***)真的,當時我已經有月供盈富基金!早過龔成!當時只係想買架車,所以當時叫做「Lancer基金」,後來目標越嚟越遠大,我話會變咗做「港女基金」,「新芬基金」甚至「移民基金」—結果都一一畀我做到,港女泡咗 芬結咗 民移咗。都話「我自信有日如願縱使天高地厚仍被我逆轉」,下一步,終極版,就係「勞蘇基金」。
(****)點解係2005/2006年買?好簡單,嗰時有個rule of thumb,話教書嘅人,頭三年唔走,就之後教一世。因為人工太高,同埋同出面脫節。我2002年開始教書,計做GM就2003年。
(*****)所謂嘅教育文憑,並唔係PTGF嘅朋友,雖然唔少PGDE都要搵PTGF。又,當年PGDE收咗我的,錢都畀埋,但我去咗中環返工嘛。所以咪畀港大沒收我啲錢,好似都兩皮嘢?所以從來舊生叫我捐錢我都話一早捐咗。
(******)都係忍唔住講。N年前有舊生帶我去唱K,真係十分之咁尊師重道,另外過時過節佢就send 啲乜乜流出相畀我,都唔使我開聲,呢啲咪好學生。又,其實我有幾個學生做咗O靚模,可惜佢地從來都唔嚟搵下我,嗚。見字記得PM我
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要知道某投注方法會否為你帶來長期穩定盈利,你要靠EV;而EV的計算,則涉及賠率(Odds)和機率(Probability)。一般賭局,賭率無論是固定,抑或不固定,都必定會顯示(例如球賽主勝、賽馬獨贏、六合彩派彩等);然而,勝負機率卻永遠隱藏。
計算機率可以非常複雜,看過賽馬博彩經典名著《計得精彩》的,相信都會深深感受得到。但計算機率亦可以非常簡單,有些連小學作業都有教。
為什麼又可以簡單?又可以複雜呢?這要由「機率是什麼」說起。
首先,機率就像重量、長度、價錢等,是一個量度值。當你想知道自己的體重,你會站在電子磅;當你想知道自己的身高,你會用尺量度;當你想知過大海船票幾貴,你會查一查價錢;而當你想知道一件事情發生的可能性,你便要計算機率。
那麼,有什麼事你會想知它的可能性呢?擲一粒骰「擲到七點」的可能性,你會想計算嗎?不。因為擲一粒骰「必定」不會擲到七點。那麼,擲骰擲到整數的可能性,你又會想計算嗎?不。因為擲骰「必定」擲出整數。由此可見,當你已經知道問題的答案是鐵定的YES或NO時,你不會問可能性。換言之,當你不肯定某事情是YES還是NO時,你才會想窺探可能性。
最家傳戶曉的例子,非擲毫莫屬:究竟下一回是公定字呢?
雖然機率是數學之中的一個範疇,但機率在語言之中也佔了一席位,縱使未曾學過機率,都會以「五十五十」來描述擲毫的結果,即擲到公和擲到字的機率均是百分之五十(50%)。
對有分數概念的則會以「二份之一」描述之。兩者相通,因為一整份是100%,各分一半自然是各佔50%,亦是兩份之中取一份,二份之一也。
分數概念對機率非常便利,將虛無飄渺的機率圖像化,轉化成「切蛋糕」的情況--由於你深信擲公和字的可能性均等,公和字就像一對雙胞胎,要吃相同份量的蛋糕,身為父母你便得把蛋糕一分為二,一份給公,一份給字,二份之一也。
此平平無奇的「二份之一」概念,更足以延伸至更多情況:
擲一粒骰子,擲得一點的機率是多少?
由於你深信一粒骰子六面的可能性均是相同,它們就像六胞胎平分生日蛋糕,你把蛋糕一分為六,一仔、二仔、三仔、四仔、五仔和六仔各取一份。擲得一點的機率,六份之一是也。
只要看得穿多少胞胎在分蛋糕,便能運算出機率。
雖然擲毫的機率十分顯淺,顯淺得令不少自稱患有「數學恐懼症」的人也會對機率產生興趣,然而,由擲毫和擲骰引起的誤解,同時惹來不少人放棄了機率,甚至徹底訴誅運氣鬼神之說。最常見的誤解是:
「擲公字的機率是二份之一,那麼,要是第一局己擲到了一次公,下一局將必定擲到字嗎?」
當然不是!否則每次擲硬幣不就只會公字公字公字……梅花間竹地出現嗎?這是天方夜譚吧。再者,若「必定」梅花間竹地出現,機率該是100%,這一點也抵觸了「二份之一」的說法。
「既然二份之一的機率,並不代表能夠預測下一局,對賭客來說又有什麼意思?」
答案很簡單,就是用來計算EV,預知定然的長遠結果。
明白了機率的意思和功用之後,接下來正式講解機率的3大運算方法:
1. 窮舉法(Exhaustive Method):一次隨機事件
先前提過,基本的機率運算,是平均分蛋糕的遊戲。由此可見,「有幾胞胎」以及「拿幾件蛋糕」都是舉足輕重的問題。幸好,這種「有幾」的問題,都只是嬰孩學「數手指」(即數數目)可以應付的問題。
由擲公字的例子起步,全部的情況有「公」和「字」,我們就這樣數:
「公……第一個;字……第二個。總共兩個。」
即問題涉及雙胞胎,將蛋糕分成兩份。
如想知擲得「公」的機率,我們又再數過:
「公……第一個。總共一個。」
可見「公」的機率便是「兩份之」中的「一」份,二份之一也。
擲骰子亦同樣,這樣數全部的情況:
「一點……第一個;兩點……第兩個;三點……第三個;四點……第四個;五點……第五個;六點……第六個。總共六個。」
即問題涉及六胞胎,將蛋糕分成六份。
如想知擲得「雙數」(即2、4、6)的機率,我們又再數過:
「兩點……第一個;四點……第二個;六點……第三個。總共三個。」
可見「雙數」的機率便是「六份之」中的「三」份,六份之三也。
兩題的答案,分別是「二份之一」( )和「六份之三」( ),究竟誰大誰小呢?欲比較分數,可以先將它化簡,繼續直接觀察,或者相減或相除。然而,分數的觸覺並非人皆有之,曾有趣聞說超過一半的美國受訪者誤以為「四份之一」比「三份之一」大。由此,我建議採取較「平易近人」的百份率(%),換算方法是--將分子除以分母,再乘以100,便是百份之多少,即多少%了。
機率(%)=分子÷分母×100
以上述的結果為例,先把1除2,再乘以100,得出50,即擲得公的機率為 50%;把3除以6,再乘以100,得出50,即擲得雙數的機率同為50%。平分秋色,「一樣那麼可能」。
由這兩個例子得知:只要能夠準確細數可能發生的情況(我稱之為懂得數手指)便能夠計算基本的機率了。
當然,懂得數手指並不等如一定數得清,當數量太多的時候,例如打麻雀(144隻牌)一起手便食糊(又稱食天糊)的機率,逐個數並非明智之舉。雖然「理論上」只要有一位有無比耐性的人,的確能夠把所有可能性徹底列出,但整個過程也拖太久了吧?
因此,數數目亦應該要有聰明的方法。
2. 列表法(Tabulation):兩次隨機事件
以擲骰子為例,擲一粒骰當然能夠「數手指」,因為只得6面。可是,如果擲兩粒骰呢?總有多少個可能的結果?
「第一粒骰一點、第二粒骰一點……一個;第一粒骰一點、第二粒骰兩點……兩個;第一粒骰一點、第三粒骰三點……三個……」給些少耐性,最終便會得知,總共有36個可能發生的結果。
列出來當然可以,但無可否認實在太煩了,而煩,亦自然代表較易出錯。究竟有沒有什麼方法可以將情況整齊地表達出來呢?
日常生活中,有一種表達方法,很值得參考,就是馬經表達「連贏」賠率的列表法。由於「連贏」是要預測單一賽事的冠軍和亞軍馬匹,因此會是兩個馬匹號碼互相配搭,例如「一號馬匹」搭「六號馬匹」,情形就像2粒骰的點數,「一點」加「六點」。
由「馬經作圖法」可以將擲兩粒骰的情況歸納如下:
每一格分別代表一個情況,例如橙色的格子代表「啡色的骰子五點,綠色的骰子三點」。 由此可見,擲2粒骰總共有36個可能結果。換言之,將蛋糕切成36份。
如問擲得總點數為10的機率,使用「馬經作圖法」答案一目了然:
非常明顯,共有3個格子,是兩骰點數相加為十(分別是(4,6)、(5,5)和(6,4))因此這三十六胞胎,現在有三胞胎說要吃蛋糕了,在「36份之」中吃了「3」份,答案是「36份之3」( )。(試利用公式把它轉成%吧!)
值得留意的是,這招「馬經作圖法」有一個值得每次使用之前都要小心思索的地方:
試想想,現有6張卡,分別畫了骰子的6面,現在你隨機抽取兩張,請問2張卡的點數相加為十的機率是多少?
很多人會照舊作答「36份之3」,原因是問題只是將骰子變成卡片,情況不甚改變,而且,使用「馬經作圖法」會得出了一幅相同的列表:
可惜這是錯的,答案錯,列表也是錯的,錯在算少了一著:擲骰子可以擲到相同數字,例如2粒骰都是一點,但抽卡並不能抽到相同數字呢!卡片只得1張,你怎樣也不能抽到2張都是一點。因此,列表應修正如下:
灰色代表根本不可能發生的情況,即不存在的胞胎。根據這個修正後的列表,蛋糕應平分為30份,而不是36份。符合相加為十的結果,亦不是3個,而是2個,因為根本沒可能抽出2張都是五點的卡片。有見及此,修正後的答案為「30份之2」( )。(試利用公式把它轉成%吧!)
3. 樹狀圖(Tree Diagram):兩次或以上隨機事件
雖然列表可以將可能性整齊地列出來,但列表也有它的局限之處,就是只能解決兩次隨機事件。如有三次或以上隨機事件,則要靠樹狀圖了。
以擲毫為例,如連擲三枚硬幣,擲得至少一次公的話,你便可以獲得8000元,這個遊戲值得花5000元去玩嗎?
首先,你得知道勝出這賭局的機率,即擲三枚硬幣能夠擲得至少一次公的機率。由於這涉及三次隨機事件,因此無法使用列表法,非用樹狀圖不可:
樹狀圖就像旅行路線圖,每一條路都是一個行程,每一個行程就是每一個可能性,不妨逐個寫出來看看:
由圖所示,這年遊戲總共有8個結局,而當中有7個結局能使你獲得8000元獎金,由此使用「分蛋糕」概念,你勝出遊戲的機率是8份之7,換算成百分率,即87.5%。
賠率則這樣計算:以5000元當作1注,如得勝則淨贏3000元,即贏3000÷5000注,又即0.6注。因此,你若參與這個賭局,你的EV = 0.6 × 87.5% - 12.5% = 40%,是一個正數。長賭下去,你將會獲取40%的純利,當然值得參與賭局。
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杜氏數學 Herman To Math 考試戰績:
A ── 會考 Math 數學
A ── 會考 Additional Math 附加數學
A ── 高考 Pure Math 純粹數學
A ── 高考 Applied Math 應用數學
5** ── DSE Math 數學
5** ── DSE M1 數學延伸部分(一)
5** ── DSE M2 數學延伸部分(二)
A ── IAL Core Math 1 2
A ── IAL Core Math 3 4
A ── IAL Further Pure Math 1
A ── IAL Mechanics 2
A ── IAL Mechanics 3
A ── IAL Statistics 1
A ── IAL Statistics 2
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精選系列節錄:
《賭Sir數學戒賭》糸列
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英聽越後面的題目越難,包含的訊息越多,考生應抓住對話的目的或想表達的立場,例如是在講約會或吃飯、從語氣判斷主角要或不要等。若遇到陌生單字,千萬不要慌,有時從上下文仍可判斷出答案,不是要考你這個單字的意義;考生應考時一定要放輕鬆,畢竟題目可聽兩遍,也不致播太快,耐心聽完,通常不難答題。
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