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貓頭鷹書房 #數學大觀念
無窮級數公式 在 Re: [解題] 數列與級數- 看板tutor - 批踢踢實業坊 的推薦與評價
※ 引述《Lwms (善用時間)》之銘言：
: ※ 引述《Lwms (善用時間)》之銘言：
: : 標題: Re: [解題] 數列與級數
: : 時間: Fri Sep 25 17:20:00 2009
: : ◆ From: 140.112.30.55
: : 推 mayturl:我記的我大學教授跟我說過 無窮大不能拿來做數學運算 09/25 19:44
: : → mayturl:所以設了X之後 基本上後面的運算都是不合理的 09/25 19:45
: 這句話是對的，但是這樣原題不是這樣錯的。
: 這也是我為什麼畫蛇添足的發文的關係，這樣算法錯跟無限大不是直接原因！
: 如同
: 0.99999 ... = x
: 9.99999 ... = y
: 相減 9.999... - 0.9..... = 9
: 重點是在沒有一個定理或推論告訴我們
: 兩個無窮級數相減 等於 個別項的相減(*)，所以把兩項相減的時候，就錯了。
: 就算算出來答案是對的，是收斂的，也不對。
: (*) 因為定理是說 兩個收斂無窮級數相減 等於 個別項的相減
: 在沒有證明、說明 0.9... 收斂 且 9.9 ... 收斂 的時候
: 就不能相減
^^^^^^^^^^
同意這句話
: 更有其他的例子
: 1 + 1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + 1/6 - 1/7 ... 是收斂的
: 但是你把他亂排之後就不一定收斂了，因為亂排不是對一般無窮級數合理的操作
: 我想強調的是 錯的原因出在，對級數套用了不合法的操作 而非先知答案是無限大
^^^^^^^^^^^^^^^^^^
這才是原因
---
我覺得這樣解釋怪怪的
因為發散的冪級數本來就不會滿足 極限的 加減乘除 等運算
所以不論作何運算都是錯的
例如以原po所出的例子 :
1 + 2 + 4 + 8 + ....
= 1 + (2 + 4 + 8 + ...)
這步就有問題了
因為:
n k n k
lim Σ 2 = lim { 1 + Σ 2 }
n→∞ k=0 n→∞ k=1
n k
= lim {1} + lim { Σ 2 } ____(1)
n→∞ n→∞ k=1
極限有個定理告訴我們:
lim {a_n + b_n} = lim {a_n} + lim {b_n} _____(2)
n→∞ n→∞ n→∞
成立條件是以上的極限值都要收斂
∞ k
但很明顯 (1) 式的 Σ 2 發散
k=1
因此不能把 1+2+4+8... 拆成 1+(2+4+8+...)
---
至於 Lwms 大你舉的例子是合法的
_ n 9
9.9 = lim { Σ ____ } ---> 可證明該極限收斂
n→∞ k=0 10^k
n 9
= lim { 9 + Σ ____ }
n→∞ k=1 10^n
n 9
= lim {9} + lim { Σ ____ } ____ by (2)
n→∞ n→∞ k=1 10^n
_
= 9 + 0.9
_ _
即 9.9 - 0.9 = 9
若您想用個別項相減解釋也行
交大微積分考古題有考一題計算與證明:
∞ n
Let r1 and r2 be the radii of convergence of the series Σ a_n*x
n=0
∞ n
and Σ b_n*x , respectively. What can you say about the radius
n=0
∞ n
of convergence of Σ (a_n + b_n)*x ? Use proofs and ...
n=0
這題答案應該是 r = min{ r1 , r2 } (它沒給解答 ＝＝)
證明用極限的概念應該就可以寫出來了
若有了上面的 Lemma
_ _
9.9 與 0.9 皆落在收斂區間 |x|<1 (都是 x=1/10)
_____
因此 9.(9-9) 也會收斂 , 只要能說明該定義域上的點，有在新的收斂區間上
--------------------------------我是分隔線-------------------------------------
我在這裡歸納兩點:
<1> 極限值 vs 函數值:
我覺得問題出在於高中很少強調這個定義:
∞ n
lim S_n ≡ Σ a_k for S_n = Σ a_k
n→∞ k=0 k=0
雖然一開始有提
但接下來就引進無窮等比級數的公式:
1
1 + r + r^2 + ... = _____ for |r|<1
1 - r
很少會有高中老師去強調 : " 1/(1-r) 是極限值 ，而非函數值 "
例如我用 Lwms 大 舉的例子:
_
0.9 = 1
正確的解釋是: 當小數點下的 9 寫的越多， "該值會越趨近於 1"
_
所以 0.9 = 1 ----> 這是指 極限值為1
_
那 0.9 的值是多少?
正確來說是未定義
因為由極限定義可知
極限值只看該點的鄰域，而非該點本身
所以才有函數的連續與不連續的概念
說這個是因為
不少人把極限值當成函數值看待
也就是 " 用值的運算 套用於 極限值的運算 "
但 " 未註明收斂 or 收斂區間 "
以前在數學上會有很多悖論
部份就是涉及無窮的概念
因此才有 limit 這個概念出現來解決這些 "似對非對" 的問題
所以一旦涉及到無窮的概念
數學家都已經幫我們解決好了
套 lim 定義看就對了 :)
<2> 極限值的意義:
說穿了就是看 "趨近程度為何"
例如以原po給的無窮級數
雖然是發散級數
但對某些在 複數 下 define 的無窮級數來說
可能為了要讓某些區間可以 analytic
所以在套 lim 時會發現某些無窮級數有 "這個特性"
即使在實數系下為發散級數
例如微基百科上舉的例子:
1 + 2 + 3 + 4 + .... = -1/12
實數系下討論此無窮級數，肯定是發散
但對複數系來講可能有很多種答案
那要如何去解讀此式子呢?
(1) -1/12 是極限值，非值
∞ -z
(2) 在複數下朝某些方向逼近 ，會發現 Σ n*n 會越趨近於 -1/12
n=1
∞ -z
即 lim { Σ n*n } = -1/12
z→0 n=1
z屬於 some curve C
我自己是沒學過這函數
沒嘗試去推過該值是如何得到
但由上面去解讀
就會覺得這個無窮級數的極限值寫的 "很自然" 了 :)
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※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.141.151 (09/26 16:45)
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