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【指數函數的微分？高中微積分沒有教的主題】
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a^x 的微分
高中微積分沒有教
但大學必考
且可用來研究人口增長
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a^x 微分得 (a^x)ln(a)
這個結論一定要背!!
特別是考前!!
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【口訣】
⭐ 指數函數微分 ＝ 本身 × ln(底數)
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其中 ln(x) 是以 e 為底的對數函數
就像 log(x) 表以 10 為底的對數函數
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而 “e” 這個數字叫做自然對數
其值約 2.71，是無理數
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關於 “e” 的來源
可以看我頻道影片
👉 導數與微分的概念（補充教材）
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而若以 “e” 為底的指數函數微分的話
就會因 ln(e) ＝ 1 而是微分等於自己
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【公式整合】
1️⃣ 指數函數微分 ＝ 本身 × ln(底數)
2️⃣ e^x 微分 ＝ e^x
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上面這兩個公式超重要
但其實只要背一個
知道是哪個嗎？
留言告訴我唄～
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#數學老師張旭
#張旭微積分
#微積分 #數學 #數學補習 #讀書
看到一個有趣的聲音議題，一個聲音有47%的人聽成Yanny，有53%聽成Laurel，而引起了許多討論，我對這事的看法是，這是母音共振峰的議題。
母音共振峰是指不同的母音會有特定的頻段特質，一般是兩個共振峰群而組合出大腦對母音的辨識，所以發聲音高相同下，我們人類仍能聽的出母音的差異，關鍵在於泛音有著不同的共振峰特質。
母音共振峰的研究找到的不多，最初的研究對不同母音的獨特共振峰是絕對的數值，如O母音是360與640Hz，而a母音則為850與1610Hz，但後續的研究則發現這並非絕對數值，而是兩個共振峰的距離與強弱的關係，只要大致符合某個距離與強弱比，大腦就會辨識成特定母音。
那為什麼會有一半一半的人聽成Yanny與Laurel的差異呢？
其實這個聲音的原檔發的是Laurel，但透過手機發出來的聲音，提高了高頻的泛音而減少了低頻的泛音，使聽覺上更加注意高頻的共振峰，而出現蝴蝶e與i(依)的母音共振峰形態。而每個人對泛音的聽覺能力有差異，對高低頻聽覺較極端的人，就會聽出Yanny，而對高低頻聽力較平滑的人就會聽出Laurel。
連結的影片最後，將音高調降30%，出現Yanny的聲音，而提高了30%就明顯的是Laurel，也可以用母音共振峰的概念來解。
音高降低時，將高頻的泛音也拉低了，而組成o母音的第一共振峰，則會過低而在聽覺上失去音量，因為低頻在人耳的聽覺上，愈低的頻率愈不容易聽見，降低音高，整個泛音的形態並沒有改變只被移動了音高，自然對數調整後的泛音強弱結構並不會改變，但人耳的聽力強弱卻改變了，使過低的泛音聽不太到。
而提高音調，則將高頻的泛音推到更高頻，一樣在聽力上愈高頻的聲音會愈聽不清楚，但低頻o母音共振峰的結構，在聽覺上就更加的被突顯出來。
人耳最敏感的頻率約落在2000~4000Hz，再高再低都會有相同音量卻聽覺弱化的問題，這是耳道的天然構造成的增益現象，人體自然的奧妙。
https://youtu.be/yDiXQl7grPQ
【電腦是怎麼來的】系列第三彈──第一次數學危機！
數學家羅素表示：「人類花了數千年的時間，才理解兩隻雞的『2』和兩天的『2』是一樣的。」
從埃及、巴比倫、印度、中國… 古代文明不乏有數學活動，然而希臘數學之所以獨立於這些文明，是因為他們將「邏輯論證」擺在數學的中心位置，真正改變了什麼叫做數學。有了抽象數字後，才帶來了更多商業和科學上的應用。
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今天就是要為介紹的是第一次數學危機時，發現無理數的故事，包括差點逼瘋畢達哥拉斯的√2…
除此之外，也會跟大家聊聊三個最知名的無理數：圓周率 π、黃金比例 Φ和自然對數的底數 e
尤其是 e！等等，大家還記得 e 代表什麼意思嗎XD 除了微積分，還是身為金融業不能不知的基本概念阿~
P.S. Google 在 2004 年的首次公開募股，所訂定的募資額並不是正常的整頭，而是$2,718,281,828。為什麼呢？看內文就知道原因囉~
lim_h->0 : (a^h - 1) / h 滿足對數律，所以才有資格稱為自然對數證明：（當作謎題, 有唸到微積分的人要不要挑. ... <看更多>
有點好奇，身邊來自於不同大學的朋友很多都會這樣念。但實際上Exponential應該是指數的意思，自然指數的字母E代表的是Euler's Number。 那麼這種念法是怎麼傳出來的呢 ... ... <看更多>
自然對數e 在 [其他] 很多人會吧自然指數E念成Exponential？ - 看板Math 的推薦與評價
有點好奇，身邊來自於不同大學的朋友很多都會這樣念。但實際上Exponential應該是指
數的意思，自然指數的字母E代表的是Euler's Number。
那麼這種念法是怎麼傳出來的呢？
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