【立場轉載】【2020 諾貝爾物理學獎】廣義相對論與宇宙最黑暗秘密
打風落雨留在家,為何不試試學習黑洞的理論呢?😹😹😹
//諾貝爾獎有三個科學奬項,我們在學校也習慣以「物理、化學、生物」等不同科目去區分不同科學領域。這種分界當然能夠方便我們以不同角度去理解各種自然現象,但大自然其實是不分科目的。科學最有趣的是各種自然現象環環相扣,我們不可能只改變大自然的某一個現象而不影響其他。就好像蝴蝶效應,牽一髮而動全身。
廣義相對論間接推論暗物質存在的必要
廣義相對論是目前最先進的重力理論,它能夠解釋迄今為止所有實驗和觀測數據。然而,天文學家發現銀河系的轉速和可觀測宇宙的物質分佈,都顯示需要比觀測到的物質更加多的質量。這是物理學的其中一個未解之謎,有時會被稱為「消失的質量」問題。那些「應該在而卻看不到」的物質,就叫做暗物質 (dark matter) 。
有些物理學家猜測,會否根本沒有暗物質,而是廣義相對論需要被修改呢?他們研究「修正重力 (modified gravity) 」理論,希望藉由修正廣義相對論去解釋這些觀察結果,無需引入暗物質這個額外假設。可是從來沒有修正重力理論能媲美廣義相對論,完美地描述宇宙一切大尺度現象。
天文學研究向來難以得到諾貝爾獎,因為天文發現往往缺乏短期實際應用。然而過去十年之間,有關天文發現的研究卻得到了五個諾貝爾物理學獎。換言之,過去幾十年間改變人類對宇宙的基本認知的,有一半是來自於天文現象。其中有關廣義相對論的包括 2017 年的重力波觀測、 2019 年的宇宙學研究,以及 2020 年的黑洞研究。
不過很少人提及這三個關於廣義相對論的發現其實同時令暗物質的存在更加可信。因為這些發現測量得越精確,就代表廣義相對論的錯誤空間更小。換句話說,物理學家越來越難以靠修正重力去解釋「消失的質量」問題,所以暗物質的存在就越來越有其必要了。
換句話說,如果證明黑洞存在,其對科學的影響並不單止是為愛因斯坦的功績錦上添花,而是能夠加深人類對構成宇宙的物質的理解。
描述四維時空的圖
談黑洞之前,我們首先要理解一下,物理學家是如何研究時空的。研究時空的一種方法,就是利用所謂的時空圖 (spacetime diagram) 。一般描述幾何空間的圖,在直軸和橫軸分別表示長和闊,形成一個二維平面。有時更可按需要加多一條垂直於平面的軸,代表高度。長、闊、高,構成三維空間。但如果要再加上時間呢?那麼就再在垂直於長、闊、高的第四個方向畫一條軸吧。咦?
怎麼了,找不到第四個方向嗎?這是當然的,因為我們都是被囚禁在三維空間之中的生物。如果有生活在四維空間裡的生物,牠們會覺得我們很愚蠢,問我們:「為什麼不『抬頭』?第四個方向不就在這邊嗎?」就像我們看著平面國的居民一樣,在二維生物眼中,牠們的世界只有前後左右,沒有上下。到訪平面國的我們也會問:「為什麼不『抬頭』?第三個方向不就在這邊嗎?」但牠們無論如何也做不到。
宇宙是三維空間,另外加上時間。如果要加上時間軸這個「第四維」的話,我們就必須犧牲空間維度。物理學家使用的時空圖就是個三維空間,直軸代表時間(時間軸)、兩條水平的橫軸代表空間(空間軸)。當然,把本來的三維空間放在二維的平面上,我們需要一些想像力。在時空圖上,每個點都代表在某時某地發生的一件事件 (event) ,因此我們可以利用時空圖看出事件之間因果關係。一個人在時空中活動的軌跡,在時空圖上稱為世界線 (world line) 。
由於時間軸是垂直的,並且從時空圖的「下」向「上」流動。一個站在原地位置不變的人的世界線會是平行時間軸的直線。由於光線永遠以光速前進,光線的世界線會是一條斜線。而只要適當地選擇時間軸和空間軸的單位,光線的世界線就會是 45 度的斜線。因為沒有東西能跑得比光快,一個人未來可以發生的事件永遠被限制在「上」的那個由無數條 45 度的斜線構成的圓錐體之間,而從前發生可以影響現在的所有事件則永遠在「下」的圓錐體之間。這兩個「上」和「下」的圓錐體內的區域稱為那個人當刻的光錐 (light cone) ,而物理學家則習慣以「未來光錐 (future light cone) 」和「過去光錐 (past light cone) 」分別表示之。
所有東西的世界線都必定被位於未來和過去光錐之內。在沒有加速度的情況下,所有世界線都會是直線。如果涉及加速,世界線就會是曲線。而廣義相對論的核心概念,就是重力與加速度相等,兩者是同一種東西。因此我們就知道如果在時空圖上放一個質量很大的東西,例如黑洞,那麼附近的世界線就會被扭曲。不單是物質所經歷的事件,連時空也會被重力場扭曲,因此時空圖上的格網線和光錐都會被扭曲往黑洞的方向。換句話說,越接近黑洞,你的越大部分光錐就會指向黑洞內部。因為你的世界線必須在光錐之內,你會剩下越來越小的可能逃離黑洞的吸引。
2020 年的諾貝爾物理學獎一半頒給了彭羅斯 (Roger Penrose) ,以表揚他「發現黑洞形成是廣義相對論的嚴謹預測」。在彭羅斯之前的研究,大都對黑洞的特性作出了一些假設,例如球狀對稱。這是因為以往未有電腦能讓物理學家模擬黑洞,只能用人手推導方程。但廣義相對論是非線性偏微分方程,就算不是完全沒有可能也是極端難解開的,所以物理學家只能靠引入對稱和其他假設去簡化方程。因此許多廣義相對論的解都是帶有對稱假設的。這就使包括愛因斯坦在內的許多物理學家就疑惑,會不會是因為額外加入的對稱假設才使黑洞出現?在現實中並沒有完美的對稱,會不會就防止了黑洞的出現?
黑洞只是數學上的副產品嗎?
彭羅斯發現普通的高等數學並不足以解開廣義相對論的方程,因此他就轉向拓撲學 (topology) ,而且必須自己發明新的數學方法。拓撲學是數學其中一個比較抽象的分支,簡單來說就是研究各種形狀的特性的學問。 1963 年,他利用一種叫做共形變換或保角變換 (conformal transformation) 的技巧,把原本無限大的時空圖(因為空間和時間都是無限延伸的)化約成一幅有限大小的時空圖,稱為彭羅斯圖 (Penrose diagram) 。
彭羅斯圖的好處除了是把無限縮為有限,還有另一個更重要的原因:故名思義,經過保角變換後的角度都不會改變。其實在日常生活中,我們經常都會把圖變換為另一種表達方式,例如世界地圖。由於地球表面是彎曲的,如果要把地圖畫在平面的紙上,就必須利用類似的數學變換。例如我們常見的長方形或橢圓形世界地圖,就是利用不同的變換從球面變換成平面。有些變換並不會保持角度不變,例如在飛機裡看到的那種世界地圖,在球面上的「直線」會變成了平面上的「曲線」。
扯遠了。回來談彭羅斯圖,為什麼他想要保持角度不變?因為這樣的話,光錐的方向就會永遠不變,我們可以直接看出被重力影響的事件的過去與未來。彭羅斯也用數學證明,即使缺乏對稱性,黑洞也的確會形成。他更發現在黑洞裡,一個有著無限密度的點——奇點 (singularity) ——必然會形成。這其實就是彭羅斯-霍金奇點定理 (Penrose-Hawking singularity theorem) ,如果霍金仍然在世,他亦應該會共同獲得 2020 年諾貝爾物理學獎。
在奇點處,所有已知物理學定律都會崩潰。因此,很多物理學家都認為奇點是不可能存在宇宙中的,但彭羅斯的計算卻表明奇點不但可以存在,而且還必定存在,只是在黑洞的內部罷了。如果黑洞會旋轉的話(絕大部分都會),裡面存在的更不會是奇點,而是一個圈——奇異圈 (singularity ring) 。
黑洞的表面拯救了懼怕奇點的物理學家。黑洞的表面稱為事件視界 (event horizon) ,在事件視界之內,你必須跑得比光線更快才能回到事件視界之外。因此沒有任何物質能夠回到黑洞外面,所以黑洞裡面發生什麼事,我們都無從得知。就是這個原因給予了科幻電影如《星際啟示錄 (Interstellar) 》創作的空間——在黑洞裡面,編劇、導演和演員都可以天馬行空。只要奇點永遠被事件視界包圍,大部分科學家就無需費心去擔心物理學可能會分崩離析了。甚至有些科學家主張,研究黑洞的內部並不是科學。
雖然如此,卻沒有阻礙彭羅斯、霍金等當代理論天體物理學家,利用與當年愛因斯坦所用一樣的工具——紙和筆——去研究黑裡面發生的事情。雖然或許我們永遠無法證實,但他們的研究結果絕非無中生有,而是根據當代已知物理定律的猜測,即英文中所謂 educated guess 。利用彭羅斯圖,我們發現不單奇點必定存在,而且在黑洞裡面,時間和空間會互相角色。
但這是什麼意思?數學上,時間和空間好像沒有分別,但在物理上兩者分別明顯:在空間中我們可以自由穿梭,但在時間裡我們卻只能順流前進。彭羅斯發現,帶領掉入黑洞的可憐蟲撞上奇點的並非空間,而是時間,因此我們也說奇點是時間的終點。亦因為在黑洞裡面掉落的方向是時間,向後回頭是不可能的,所以一旦落入黑洞,就只能走向時空的終結。
看見黑洞旁的恆星亂舞
另一半諾貝爾獎由 Reinhard Genzel 和 Andreas Ghez 平分,以表揚他們「發現銀河系中心的超大質量緻密天體」。銀河系中心的確有一個超大質量的物體,而且每個星系中心都有一個。這些質量極大的物體,就是所謂的超大質量黑洞 (supermassive blackholes) 。
上世紀 50 年代開始,天文學家陸續發現了許多會釋放出無線電輻射的天體,稱為類星體 (quasars) 。之後其中一個類星體 3C273 被觀測確認是銀河系外的星系中心。根據計算, 3C273 釋放出的無線電能量是銀河系中所有恆星的 100 倍。起初,天文學家認為這些能夠釋放巨大能量的類星體,必然是些比太陽重百萬倍的恆星。但是理論計算結果卻表明,這麼重的恆星會是極不穩定的,而且壽命會非常短,因此類星體不可能是恆星。
為什麼這些類星體不可能是恆星?因為恆星的發光度是有極限的,而且正比於恆星的質量。這個極限稱為愛丁頓極限 (Eddington limit) 。如果恆星的發光度超出愛丁頓極限,光壓(radiation pressure ,即光子對物質所施的壓力)就會超過恆星自身的重力,恆星就會變得不穩定。因此,天文學家逐漸改而相信類星體是位於星系中心的超大質量黑洞。這也令類星體多了一個名字:活躍星系核(active galactic nucleus)。
每個黑洞旁邊都有一個最內穩定圓形軌道 (innermost stable circular orbit) ,依據黑洞會否旋轉而定,大概是黑洞半徑的 3–4.5 倍。比最內穩定圓形軌道更接近黑洞的範圍,環繞黑洞運行的物質都會因不穩定的軌道而墜落黑洞之中,並在墜落的過程中釋放出 6–42% 的能量,因此可以解釋活躍星系核的強大發光度。
另一方面,彭羅斯在 1969 年亦發現一個旋轉的黑洞能夠把能量轉給物質,並且把物質拋出去,這個過程稱為彭羅斯過程 (Penrose process) 。換言之,從黑洞「偷取」能量是有可能的。科學家估計,科技非常先進的外星文明有可能居住於黑洞附近,並利用彭羅斯過程從黑洞提取免費的能源。這個過程亦進一步支持超大質量黑洞能夠釋放巨大能量的理論。
由於 E=mc2 ,能量即是質量,因此被偷取能量的黑洞的質量就會減少。霍金在 1972 年發現一個不會旋轉的黑洞的表面積不可能減少。黑洞質量越大,其表面積就越大,因此不會旋轉的黑洞不會有彭羅斯過程。他亦發現,如果是個會旋轉的黑洞,其表面積是有可能減少的。因此霍金的結論支持了彭羅斯的理論。
Genzel 和 Ghez 兩人的研究團隊已經分別利用位於智利的歐洲南方天文台 (European Southern Observatory) 的望遠鏡和位於夏威夷的凱克望遠鏡 (Keck Telescope) 監察了距離地球約 25,000 光年的銀河系中心區域將近 30 年之久。他們發現有很多移動速度非常快的恆星,正在環繞一個不發光的物體轉動。這個不發光的物體被稱為人馬座 A* (Sagittarius A*, 縮寫為 Sgr A*) 。 Sgr A* 會放出強大的無線電波,這點與活躍星系核的情況相似。
他們不單確認了這些恆星的公轉速率與 Sgr A* 的距離的開方成反比, Genzel 的團隊更成功追蹤了一顆記號為 S2 的恆星的完整軌跡。這兩個結果都表明, Sgr A* 必然是一個非常細小但質量達 400 萬倍太陽質量的緻密天體。這樣極端的天體只有一種可能性:超大質量黑洞。
霍金輻射 黑洞的未解之謎
諾貝爾物理學委員會在解釋科學背景的文件中亦特別提及霍金的黑洞蒸發理論以及霍金輻射 (Hawking radiation) 。現時仍然未能探測到霍金輻射的存在,未來若成功的話除了將再一次驗證廣義相對論以外,更會對建立量子重力理論 (quantum gravity theory) 大有幫助。就讓我們拭目以待吧!
重力波研究、宇宙學研究、黑洞研究,都是直接檢驗廣義相對論預言的方法。加上 2019 年 4 月 10 日公布的黑洞照片,大自然每一次都偏心愛因斯坦。相信愛因斯坦在天上又會伸出舌頭,調皮地說:「我早就知道了!」//
同時也有1部Youtube影片,追蹤數超過11萬的網紅GreatKidsLearning,也在其Youtube影片中提到,圓錐體的表面積 六年級數學 (Grade 6 math - Surface area of a cone.) 圓錐體表面積: 是指一圓錐物體表面所占的面積大小 圓錐體表面積=半徑×半徑×3.14+半徑×半徑×3.14 ×圓心角÷360 相關學習影片的播放清單: 英文單字倍增法: https:...
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前幾回講到,「線嘅方程」其實係「無限粒點嘅x值y值嘅關係」。施主,色即是空,方程即關係。
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講到關係,唉!呢家嘢好複雜……Tommy中意Mary,但Mary就中意肥釗,偏偏肥釗係Chris個細佬,Chris之前就同Tommy個Ex有路,後來Tommy轉咗基,又同肥釗曖昧過吓,仲畀Mary見過佢地拖手……
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關係複雜,數學都係㗎咋,x值唔同嘅話,y值就會跟住變嚟變去,咁點算呢?
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唔知你有冇睇過上一代香港人好中意睇嘅娛樂八卦雜誌?啲爛臭記者為咗將明星嘅醜聞發大嚟講,拉多啲人落水,最中意整張蜘蛛網咁款嘅人物關係圖,將七國咁亂嘅關係show畀讀者知。
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用圖像(Graph)嚟表達關係,就最適合不過啦!
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咪住!話說,第一段提過,方程(Equation)係交代關係,咁咪即係……
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無錯!圖像&方程,都係做緊同一件事。兩者嘅分別在於,你準備將呢段關係,透露畀邊個知?想話畀「人類」知?佢會中意睇圖像,升就升跌就跌,好似啲股票財經風水佬咁。想話畀「電腦」知?佢會中意睇方程,無計,電腦無眼。
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舉個例,若然我想表達一個兜兜轉轉,最終又喺返埋一齊嘅關係,我只需要畫個圓圈(Circle)就搞掂。但係要向電腦準確地表達一個圓圈,就要寫【x^2 + y^2 = 1】咁電腦先至會明白一個圓心喺O而半徑係1嘅圓圈。
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換言之(重點來了)唔同圖像,就有唔同方程;唔同方程,就有唔同圖像。方程嘅每一個細節,都反映圖像嘅每一個特質,所以,想學電腦透過方程閱讀圖像,就要識得各種方程嘅格式啦。
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例如:【y = 乜x + 乜】係直線,第一個乜係斜率(Slope)即係條線有幾斜;第二個乜係Y截距(y-intercept)即係切過Y軸邊度。
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又例如:【(x - 乜)^2 + (y - 乜)^2 = 乜^2】係圓圈,第一個乜係圓心嘅x值,第二個乜係圓心嘅y值,第三個乜係圓嘅半徑(Radius)。
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再例如:【y = 乜^x】係幾何曲線,如果乜大過1,就越飛越高,越升越猛;如果乜介乎於0至1之間,就越飛越低,低到趨近貼地。
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方程就好似香港人嘅身份證,睇你出生日期就知你幾歲,睇身份證號碼首個英文字就知你係咪新移民,輪入去警隊嘅電腦,仲可以起你祖宗十八代嘅底細。
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換言之(又有重點)若然幅圖像有變動,郁咗啊、反射咗啊、撳扁咗啊、拉闊咗啊……條方程都一定有所變動。
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點變?去YouTube搜尋【杜氏數學 graph】你就會見到有條10分31秒嘅Transformation of Graphs圖像變換教學短片( https://youtu.be/88BCf9H_eDA )。
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好高興【數學外掛懶人包】已經連載到第22篇,寫到上咗軌道,我預計自己寫多十篇左右就會完稿,同另一位數學前輩Kxx Txx,合著《5**數學男人嫁得過》!暫定本書會分四大部份:
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請多多支持,本書會繼續用雜誌吹水形式,將嚴1肅嘅數學話題,寫得搞笑啲、易明啲、親切啲,同時又會對學生考生極有幫助,勁多連日校老師&補習老師都會大有裨益。
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圓半徑英文 在 Jivan小天涯手記 Facebook 的精選貼文
#反覆做,#是訓練專注力的關鍵!
#2Y4M11D小Jivan說故事時間
孩子如何靜下心來投入地看書的呢?回憶起愛看書的小Jivan,快滿一歲時還無法聽完我唸完半本書,現在兩歲多的他,則是每天追著下班回家的我們,與他一起看書,常常是反覆看完了三、四本,媽媽央求:「我已經講了一天的課,喉嚨需要休息了,那就再一本喔!」他常常是站著看圖、專注地聽坐著的我唸,因為這樣方便他一結束馬上衝去再拿一本。
等到媽媽的最後一本真的共讀完了,他就拎著書去找爸爸,同樣再要爸爸唸個好幾本,睡前在床上還有固定的英文書要看。這樣聽起來好像我們家有很多童書,小Jivan每天都能吸收不同的故事和新鮮感,但不是這樣的,我們家的書不算少,但小Jivan會看的就那幾本不斷、不斷重複。每個階段都有不同的偏好,大約三個月一循環。
小Jivan愛看書的起源,我以為就是要多樣或多重聲光與按鈕的刺激才好,後來發現的恰恰相反。孩子要專注於一件事,絕對是要從「#重複」開始!而且越少干擾越能專注。
小Jivan愛上的第一本書,我們每天早餐過後就一起看(不是單方面我讀),幾乎有將近半年的時間,他都指定要看同一本。不會很無聊嗎?不,這都是大人的偏見,覺得做一件事不停地反覆很無趣,但對孩子而言,這都是認識、驗證、輸出的過程,是扎實的馬步,也是對自己的肯定。他知道這樣東西的名字,他明天還記得這樣東西的名字,他受到鼓舞,他百般不膩的是專心於學習同一件事而熟能生巧的愉悅感,甚至發現我忽視的圖中小細節,進入長期記憶也活化了腦袋,這對他而言都是極有意義的活動。
我們試想自己,同一本書,完全看完要再拿起來重讀的機率有多少?而孩子,重複看同一本書、做同一件事,他能夠不感無趣而仍能夠從中得到樂趣,是多麼難能可貴的事?正是因為每次都能投入,才有可能透過反覆操作,邁向精進。別怕孩子無聊,也別擔心他固著於一種遊戲、一本書,這不但是專注力和持續力的訓練,更是將來脫穎而出的關鍵-#不厭其煩。
有此體悟,所以,媽媽就算整本書的內容都背下來了,小Jivan要求一起看時,還是要隨著故事情節發展來展現抑揚頓挫;最近又開始了新招,真的累到唸不下去時,也確定該本唸過多次,便會說:「#換你唸給我聽吧!」只要耐心聆聽聽與引導發問,即便他的詞彙有限,也並不阻礙我了解「小Jivan是懂的」的事實,他的表達能力也快速進步。從日常中培養閱讀與良好的底子,就不怕未來孩子學習虎頭蛇尾,只求完成不求完整。
身為學齡前父母的我們,到底我們是希望孩子學得廣、會得早(如數字、顏色,但這些都是入學後遲早會學到的知識),還是我們是想藉由專注閱讀這個反覆練習的好習慣,養成背後的專注力、學習力、持續力?
所以,當孩子投入於一本書或件看似簡單的事時,譬如:剪圓形,請別急著要他換剪方形、三角形看看,他可能正在研究如何自如使用剪刀,如何修出圓滑線條,如何掌握直徑半徑的比例,未來還可能是手工藝達人!能不放棄的好好做好、靜心精深一件事,或許才是我們用盡心思,該從「共讀」中調整的著力點。
#專注學習的基本功
#化繁為簡_化多樣為重複_
#影片HD_後面突然沒了因為手機記憶體滿啦
圓半徑英文 在 GreatKidsLearning Youtube 的精選貼文
圓錐體的表面積 六年級數學 (Grade 6 math - Surface area of a cone.)
圓錐體表面積: 是指一圓錐物體表面所占的面積大小
圓錐體表面積=半徑×半徑×3.14+半徑×半徑×3.14
×圓心角÷360
相關學習影片的播放清單:
英文單字倍增法: https://www.youtube.com/playlist?list=PL_xcIE0AQTbZ3VKhzf4ly1lM4i-Z_eBFv
學習中英文: https://www.youtube.com/playlist?list=PL_xcIE0AQTbabhNuVvZWgtajYoF9VawC4
唐詩三百首: https://www.youtube.com/playlist?list=PL_xcIE0AQTbbyg5uLxZotvXfZrK5_t8Br
英文基礎閱讀與聽力: https://www.youtube.com/playlist?list=PL_xcIE0AQTbbn5adEk87hlxbpMZfQDD5G
英文日常口語(English Daily Conversation): https://www.youtube.com/playlist?list=PL_xcIE0AQTbbwKGyw-K8f5jh-mIwARCgJ
情人節英文日常口語: https://www.youtube.com/playlist?list=PL_xcIE0AQTbZp9Al8kBa3iNVONRID_WV9
中文學習: https://www.youtube.com/playlist?list=PL_xcIE0AQTbbNs2hymyK17oTLLlP0y90w
英文常用片語: https://www.youtube.com/playlist?list=PL_xcIE0AQTbbib1KSDPAQlsDuG0BkS0I-
中文成語學習: https://www.youtube.com/playlist?list=PL_xcIE0AQTbaZVeHYfsWTNXgNKymILLIu
ㄅㄆㄇ練習-Chinese Phonics: https://www.youtube.com/playlist?list=PL_xcIE0AQTbY-Svl4p641U-5DCpwlWsXW
ㄅㄆㄇ拼音範例: https://www.youtube.com/playlist?list=PL_xcIE0AQTbYQ4Dk0xqZ4prAr39bvrs3X
唐代李白的詩: https://www.youtube.com/playlist?list=PL_xcIE0AQTbaLq6Ilu4ODNAi-926thnIu
英文基礎文法: https://www.youtube.com/playlist?list=PL_xcIE0AQTbbSMWYX3_CNjd4ZE_lqQppN
英文發音練習 (Phonics): https://www.youtube.com/playlist?list=PL_xcIE0AQTbZMJTrz59dBXXW0qPDGVdLo
ABC 發音練習-ABC Phonics: https://www.youtube.com/playlist?list=PL_xcIE0AQTbYzUqY70d4A9HYNwMqHMdwR
KK發音清晰版-KK Phonics: https://www.youtube.com/playlist?list=PL_xcIE0AQTbbB-Qh7E3Z3tXQimg3Oh75i
3年級數學-Grade 3 Math: https://www.youtube.com/playlist?list=PL_xcIE0AQTbaz_lrxc10dOQPpT-xdZrJ3
4年級數學-Grade 4 Math: https://www.youtube.com/playlist?list=PL_xcIE0AQTbZ26Xw9C0rrYX3pVOjYr2-_
2年級數學-Grade 2 Math: https://www.youtube.com/playlist?list=PL_xcIE0AQTbYmYY2JWHx492eLB-en9JTG
8年級數學-Grade 8 Math: https://www.youtube.com/playlist?list=PL_xcIE0AQTbYjniNhLJOkJqAAhNmoPNY_
7年級數學-Grade 7 Math: https://www.youtube.com/playlist?list=PL_xcIE0AQTbYG-7kDr-fCnDVCNWg6Qf9U
5年級數學-Grade 5 Math: https://www.youtube.com/playlist?list=PL_xcIE0AQTbY0cQ_J95u69cmOskxqNsGr
6年級數學-Grade 6 Math: https://www.youtube.com/playlist?list=PL_xcIE0AQTbaqO07HAxytuNhEr62twSu9
1年級數學 (Grade 1 Math): https://www.youtube.com/playlist?list=PL_xcIE0AQTbY051AXIsmmhDXzvJ1eMr--
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